2025年下学期高中函数的概念与性质试卷.docVIP

2025年下学期高中函数的概念与性质试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.函数概念的核心要素

已知集合(A={x|0\leqx\leq4})，(B={y|-1\leqy\leq2})，则下列对应关系中能构成从(A)到(B)的函数的是（）

A.(f(x)=\frac{1}{2}x-1)

B.(f(x)=\sqrt{x-2})

C.(f(x)=\sinx)

D.(f(x)=\frac{x}{x+1})

解析：函数的定义要求对于集合(A)中的任意一个元素(x)，在集合(B)中都有唯一确定的元素(y)与之对应。

选项A：当(x=4)时，(f(4)=\frac{1}{2}\times4-1=1)，其值域为([-1,1])，包含于(B)，符合函数定义；

选项B：定义域为(x\geq2)，与集合(A)的定义域([0,4])不符；

选项C：(\sinx)的值域为([-1,1])，但当(x\in[0,4])时，(\sin4\approx-0.7568)，(\sin\frac{\pi}{2}=1)，值域为([-0.7568,1])，虽包含于(B)，但题目未明确是否允许部分对应，而选项A更直接满足定义域和值域要求；

选项D：当(x=0)时，(f(0)=0)，当(x=4)时，(f(4)=\frac{4}{5}=0.8)，值域为([0,0.8])，但函数表达式在(x=-1)处无意义，而(A)中不含(x=-1)，需进一步验证是否所有(x\inA)均有定义。由于(A)中(x\geq0)，分母(x+1\geq1)，故定义域成立，但值域([0,0.8])包含于(B)，此时需对比选项A和D。选项A的对应关系更直接覆盖(A)的全部定义域且值域符合，因此正确答案为A。

2.函数的定义域求解

函数(f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4}}{\log_2(x-1)})的定义域是（）

A.([2,+\infty))

B.((1,2)\cup(2,+\infty))

C.((2,+\infty))

D.([2,3)\cup(3,+\infty))

解析：定义域需满足三个条件：

偶次根式被开方数非负：(x^2-4\geq0\Rightarrowx\leq-2)或(x\geq2)；

对数的真数大于0：(x-10\Rightarrowx1)；

分母不为0：(\log_2(x-1)\neq0\Rightarrowx-1\neq1\Rightarrowx\neq2)。

综合上述条件，(x\geq2)且(x\neq2)，即(x2)，正确答案为C。

3.函数的单调性与最值

已知函数(f(x)=x^3-3x^2+2)在区间([a,b])上单调递减，且最大值为2，则(b-a)的最小值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：

求导得(f(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令(f(x)0)，解得(0x2)，即函数在((0,2))上单调递减；

令(f(x)=2)，解方程(x^3-3x^2+2=2\Rightarrowx^3-3x^2=0\Rightarrowx^2(x-3)=0\Rightarrowx=0)或(x=3)；

函数在(x=0)处取得极大值(f(0)=2)，在(x=3)处(f(3)=27-27+2=2)，在(x=2)处取得极小值(f(2)=8-12+2=-2)；

要使区间([a,b])上单调递减且最大值为2，则(a=0)，(b=2)，此时(b-a=2)，正确答案为B。

4.函数的奇偶性判定

下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）

A.(f(x)=x|x|)

B.(f(x)=\lnx)

C.(f(x)=\sinx)

D.(f(x)=2^x-2^{-x})

解析：

选项A：(f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x)