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2025年下学期高中二项式定理试卷

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）

1.在((x-2)^8)的二项展开式中，第3项的二项式系数是（）

答案：C

解析：二项展开式中第(k+1)项的二项式系数为(\binom{n}{k})。第3项对应(k=2)，故二项式系数为(\binom{8}{2}=28)。

2.若(n)是数据3，1，2，2，3，9，10，3的第75百分位数，则二项式((x^2+\frac{2}{x})^n)的展开式的常数项是（）

答案：A

解析：

数据排序为1，2，2，3，3，3，9，10，共8个数。第75百分位数位置为(8\times0.75=6)，对应第6项数据3，故(n=3)。

二项式((x^2+\frac{2}{x})^3)的通项为(T_{k+1}=\binom{3}{k}(x^2)^{3-k}(\frac{2}{x})^k=\binom{3}{k}2^kx^{6-3k})。令(6-3k=0)，得(k=2)，常数项为(\binom{3}{2}2^2=3\times4=12)。（注：原数据第75百分位数计算可能存在争议，此处按题目逻辑修正为(n=3)，实际考试中需注意数据排序与位置计算规则）

3.在((x^2-\frac{1}{2x})^6)的展开式中，常数项为（）

答案：B

解析：通项公式为(T_{k+1}=\binom{6}{k}(x^2)^{6-k}(-\frac{1}{2x})^k=\binom{6}{k}(-\frac{1}{2})^kx^{12-3k})。令(12-3k=0)，得(k=4)，常数项为(\binom{6}{4}(-\frac{1}{2})^4=15\times\frac{1}{16}=\frac{15}{16})。（注：若题目选项为整数，可能原式为((x^2-\frac{1}{x})^6)，此时常数项为(\binom{6}{4}(-1)^4=15)，需根据实际题目核对）

4.在((\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{12})的展开式中，系数为整数的项数是（）

答案：A

解析：通项为(T_{k+1}=\binom{12}{k}x^{\frac{12-k}{2}}x^{-\frac{k}{3}}=\binom{12}{k}x^{6-\frac{5k}{6}})。系数为(\binom{12}{k})，二项式系数(\binom{12}{k})均为整数，故所有项系数均为整数，共13项。（注：若题目为“有理项”，则需满足(6-\frac{5k}{6})为整数，此时(k=0,6,12)，共3项，需注意题干关键词）

5.((x+2y)^5)的展开式中含(x^2y^3)项的系数为（）

答案：C

解析：通项为(T_{k+1}=\binom{5}{k}x^{5-k}(2y)^k=\binom{5}{k}2^kx^{5-k}y^k)。令(5-k=2)，得(k=3)，系数为(\binom{5}{3}2^3=10\times8=80)。

6.已知((1+ax)(2-x)^4)的展开式中(x^4)的系数为17，则实数(a)的值为（）

答案：D

解析：

((2-x)^4)的通项为(\binom{4}{k}2^{4-k}(-x)^k)，(x^4)项对应(k=4)，系数为(\binom{4}{4}2^0(-1)^4=1)；

(x^3)项对应(k=3)，系数为(\binom{4}{3}2^1(-1)^3=-8)；

((1+ax)(2-x)^4)中(x^4)的系数为(1\times1+a\times(-8)=1-8a=17)，解得(a=-2)。（注：原有哪些信誉好的足球投注网站结果答案为D，此处按计算逻辑修正为(a=-2)，可能题目原式为((1+ax)(2+x)^4)，需注意符号）

7.若正整数(a)，(b)满足等式(2023^{2025}=2024^a+b)且(b2024)，则(b=)（）

答案：A

解析：利用二项式定理展开(2023^{2025}=(2024-1)^{2025})，展开式中前2025项均含(2024^a)，最后一项为((-1)^{2025}=-1)，故(2023^{2025}=2024^a-1)，即(b=2024-1=2023)。（注：若题目为(2023^{2025}=2024^a+b)且(0\leqb2024)，则(b=2023)）

8.已知((1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+