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第19讲解直角三角形的应用(九大题型)

学习目标

1、弄清题中名词、术语的意义,如坡度、仰角等;

2、会运用有关解直角三角形的知识解决实际问题;

3、掌握在实际问题中构建几何模型。

一、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量关

系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

解这类问题的一般过程是:

(1)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出

几何图形,建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的

问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解.

应用举例:在用直角三角形知识解决实际问题时,经常会用到以下概念:

(1)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母表示.

坡度(坡比):坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度,用字母表示,则,如

图,坡度通常写成∶的形式.

(2)仰角、俯角:视线与水平线所成的角中,视线中水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做

俯角,如图.

(3)方位角:从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如图①中,目标方

向PA,PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°.

(4)方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角,如图②中的目

标方向线,,,的方向角分别表示北偏东,南偏东,南偏西,北偏西特别地:

OAOBOCOD30°45°80°60°.

东南方向指的是南偏东,东北方向指的是北偏东,西南方向指的是南偏西,西北方向指的是北

45°45°45°

偏西45°.

【方法规律】

1.解直角三角形实际是用三角知识,通过数值计算,去求出图形中的某些边的长或角的大小,最

好画出它的示意图;

2.非直接解直角三角形的问题,要观察图形特点,恰当引辅助线,使其转化为直角三角形或矩形

来解;

3.解直角三角形的应用题时,首先弄清题意关键弄清其中名词术语的意义,然后正确画出示意()

图,进而根据条件选择合适的方法求解.

【即学即练1】小球沿着坡度为i1:1.5的坡面滚动了13m,则在这期间小球滚动的水平距离是

m

【答案】313

【分析】设高度为x,根据坡度比可得水平距离为1.5x,根据勾股定理列方程即可得到答案;

【解析】解:设高度为,

x

∵坡度为i1:1.5,

∴水平距离为1.5x,

由勾股定理可得,

222

x(1.5x)13,

解得:x213,

∴水平距离为1.5213313

故答案为:313.

【点睛】本题考查坡度比及勾股定理,解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系.

1:2.4130

【即学即练2】小杰沿坡比为的山坡向上走了米.那么他沿着垂直方向升高了米.

【答案】50

【分析】设他沿着垂直方向升高了米,根据坡度的概念用表示出他行走的水平宽度,根据勾股定理计算

xx

即可.

【解析】解:设他沿着垂直方向升高了x米,

∵坡比为1:2.4,

∴他行走的水平宽度为2.4x米,

由勾股定理得,2

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