2025上海市八年级升九年级暑假数学衔接讲义 第15讲 正弦、余弦及其特殊角的锐角三角比的值（六大题型）（解析版）.pdfVIP

第15讲正弦、余弦及其特殊角的锐角三角比的值（六大题型）

学习目标

1、掌握正弦、余弦的概念；

2、会求锐角的正弦、余弦的值；

3、知道特殊角的锐角的正弦、余弦的值。

一、直角三角形中30°角的性质（续）

二、锐角的三角比—正弦、余弦

Ⅰ、先看特殊情景：

a1

Rt△ABC,C90°,A30,

①在中∠∠则

c2

b3

②在Rt△ABC中,∠C90°,∠B60,则

c2

思考：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的对边与斜边的比值是否是一个确

定的值?

Ⅱ、再看一般情景：

如图所示，任意画一个锐角A,在角A的一边上任意取点，例如取B、B、B三点，再分别过这三个点向另

123

一边作垂线，垂足依次为点C、C、C,从而得到三个直角三角形，即△ABC、△ABC和△ABC

123112233

因为这三个直角三角形有公共的锐角A,所以△ABC∽△ABC∽△ABC

112233

BCBCBC

于是得112233

ABABAB

123

由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边与斜边的长度的比值就是一个确定的数.

Ⅲ、

如图，当直角三角形中一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与斜边的长度的比值随着变化吗?

提示：比较∠ADC、∠AEC的对边与斜边的比值来确定是否变化。

Ⅳ、

通过上面的讨论，可以得到：如图,在Rt△ABC中(∠C90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC

的边长怎样变化，∠A的对边BC与斜边AB的比值总是确定的，即

我们把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作sinA,

锐角A的对边BCa

sinA

斜边ABc

同理，在Rt△ABC中(∠C90°),当锐角A的大小确定后，不论Rt△ABC的边长怎样变化，∠A的邻边

BC与斜边AB的比值也总是确定的

我们把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作cosA,

锐角A的邻边ACb

cosA

斜边ABc

Ⅴ、

任何一个锐角的正弦、余弦的值都是正实数，且正弦和余弦的值小于1(为什么?).

0sinA1,0cosA1.

提示：我们可以画一个三角形，已知∠C＝90°，当锐角A无限接近90°时，a无限接近c，b无限接近0；

当锐角A无限接近0°时，b无限接近c，a无限接近0

锐角的三角比：一个锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为这个锐角的三角比。

三、锐角的三角比的特殊角的值—正弦、余弦

Ⅰ、模型引入

Ⅱ、特殊角的三角比值

利用三角比的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角比值，归纳如下：

锐角

30°

45°

60°

【方法规律】

通过该表可以方便地知道、、角的各三角比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐

(1)30°45°60°

角的三角比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．

(2)仔细研究表中数值的规律会发现：

、、