2025上海市八年级升九年级暑假数学衔接讲义 第11讲 平面向量的线性运算（八大题型）（原卷版）.pdfVIP

第11讲平面向量的线性运算（八大题型）

学习目标

1、理解向量的数乘；

2、掌握向量的线性运算；

3、会用向量的线性组合表示向量。

一、实数与向量相乘

1.实数与向量相乘的意义：



nnnm

一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加又当为.

anaana

a

nn

正整数时，a表示与同向且长度为a的向量.

a

mm

【方法规律】

aaaa

设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，

但方向相反.

2．向量数乘的定义



aka

一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：

k



（1）如果k0,且a0时，则：



ka|ka||k||a|kakaakaa

①的长度：；②的方向：当k0时，与同方向；当k0时，与反

方向；



k0,或a0ka0ka

（2）如果时，则：，的方向任意.



a

实数与向量相乘，叫做向量的数乘.

k

【方法规律】

（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；

（2）实数与向量不能进行加减运算；



ka

（4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写

在数字上面；

（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.

3.实数与向量的相乘的运算律：

设m、n为实数，则：



（1）m(na)(mn)a（结合律）；



（2）(mn)amana（向量的数乘对于实数加法的分配律）；



（3）m（a+b）mamb（向量的数乘对于向量加法的分配律）

二、平行向量定理

1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.

【方法规律】

1

aaaa

任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：aaa，0