2025上海市八年级升九年级暑假数学衔接讲义 第06讲 相似三角形的判定（第1课时）（八大题型）（原卷版）.pdfVIP

第06讲相似三角形的判定（第1课时）（八大题型）

学习目标

1、了解相似三角形的概念；

2、掌握相似三角形的判定-预备定理，判定定理1、

2；

3、会自主证明相似三角形的判定定理。

一、相似三角形

相似三角形：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成

比例，那么这两个三角形叫做相似三角形

在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的

边是它们的对应边两个三角形是相似三角形，也可以表述为两个三角形相似或一个三角形与另一个三角

.“”,“

形相似如在和中，如

”.

我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”

【方法规律】①相似三角形的对应角相等、对应边成比例.

②两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比(或相似系数).

③当两个相似三角形的相似比k1时，这两个相似三角形就成为全等三角形；全等三角形是相似三角

形的特例.

④设△ABC与△ABC的相似比为k,△ABC与△ABC的相似比为k’,则

二、相似三角形的判定

①利用定义判定相似三角形

例△ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由．

解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°.

因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°.

所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E.

AB3BC3AC3.63

又因为＝，＝，＝＝，

DF2EF2DE2.42

ABBCAC

所以＝＝.所以△ABC∽△DFE.

DFEFDE

【方法规律】判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另

外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上．

②预备定理

△ABC中，D是AB上任意一点，过D作DE∥BC,交AC边于E，那么△ADE与△ABC是否相似？

【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？

根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事

AEDEDEAD

实，推得，通过度量发现，所以可以判断出△ADE与△ABC相似.

ACBCBCAB

思考（1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？

（2）若是DE∥BC,DE与BA、CA延长线交于E、D，那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试

看，如果相似写出它们对应边的比例式.

DEADAE

由DE∥BC,得(三角形一边平行线的性质的推论)，∠ADE∠B,∠AED∠C.又

BCABAC

∠DAE∠BAC,因此△ADE∽△ABC.

【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相

似.

③．相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三

角形相似.

分析相似三角形的预备定理，给我们提供了证明两个三角形相似的一条思路和依据.由此考虑移动其中

一个三角形，构造出具有预备定理的图形特征的图形，

④．判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

类似证明判定定理的分析，分别在射线、上截取构造△则