2025年下学期初中数学一题多解探究试卷.docVIP

2025年下学期初中数学一题多解探究试卷

一、代数综合题：方程与函数的多路径求解

（一）题目呈现

已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像经过点(A(1,0))、(B(3,0))，且与(y)轴交于点(C(0,3))。

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若点(P(m,n))是该抛物线上位于第一象限的动点，过点(P)作(PD\perpx)轴于点(D)，求(\trianglePAD)面积的最大值。

（二）解法探究

1.求二次函数解析式的三种方法

方法一：一般式法

将点(A(1,0))、(B(3,0))、(C(0,3))代入(y=ax^2+bx+c)，得：

[

\begin{cases}

a+b+c=0\

9a+3b+c=0\

c=3

\end{cases}

]

解得(a=1)，(b=-4)，(c=3)，故解析式为(y=x^2-4x+3)。

方法二：交点式法

设(y=a(x-1)(x-3))，代入点(C(0,3))，得(3=a(0-1)(0-3))，解得(a=1)，展开后同方法一。

方法三：顶点式法

由对称轴公式(x=\frac{1+3}{2}=2)，设(y=a(x-2)^2+k)，代入(A(1,0))和(C(0,3))：

[

\begin{cases}

a(1-2)^2+k=0\

a(0-2)^2+k=3

\end{cases}

]

解得(a=1)，(k=-1)，故(y=(x-2)^2-1=x^2-4x+3)。

2.求三角形面积最大值的两种思路

思路一：代数法（二次函数最值）

由题意得(D(m,0))，(AD=m-1)（(m1)），(PD=n=m^2-4m+3)。

[

S_{\trianglePAD}=\frac{1}{2}\timesAD\timesPD=\frac{1}{2}(m-1)(m^2-4m+3)

]

化简得(S=\frac{1}{2}(m-1)^2(m-3))，令(t=m-1)（(t0)），则(S=\frac{1}{2}t^2(t-2))，求导或配方法可得当(t=\frac{4}{3})时，(S_{\text{max}}=\frac{8}{27})。

思路二：几何法（参数方程）

设直线(AP)的解析式为(y=k(x-1))，联立抛物线方程(x^2-4x+3=kx-k)，解得(x=1)或(x=k+3)，故(P(k+3,k(k+2)))。

[

S_{\trianglePAD}=\frac{1}{2}\times|AD|\times|y_P|=\frac{1}{2}(k+2)\timesk(k+2)=\frac{1}{2}k(k+2)^2

]

通过求导得(k=-\frac{2}{3})时面积最大，代入得(S_{\text{max}}=\frac{8}{27})。

二、几何综合题：图形变换与辅助线构造

（一）题目呈现

在矩形(ABCD)中，(AB=4)，(BC=6)，点(E)为(BC)中点，将(\triangleABE)沿(AE)折叠，点(B)落在点(F)处，连接(CF)，求线段(CF)的长度。

（二）解法探究

1.方法一：坐标解析法

以(A)为原点，(AB)、(AD)为坐标轴建立坐标系，得(A(0,0))、(B(4,0))、(E(4,3))。

直线(AE)：(y=\frac{3}{4}x)，设(F(x,y))，由(AF=AB=4)且(EF=EB=3)：

[

\begin{cases}

x^2+y^2=16\

(x-4)^2+(y-3)^2=9

\end{cases}

]

解得(F\left(\frac{112}{25},\frac{96}{25}\right))，又(C(4,6))，故(CF=\sqrt{\left(