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2025年下学期初中数学艺术表现能力测试试卷

考试时间：90分钟

满分：100分

测试范围：初中数学核心知识与艺术表现融合应用

一、图形对称与艺术设计（共20分）

1.剪纸中的轴对称（8分）

中国传统剪纸艺术以轴对称图案为核心，图1是一幅未完成的“蝴蝶剪纸”半成品（仅显示对称轴左侧部分）。

（1）已知对称轴为直线l，左侧翅膀边缘有三个关键点：A(2,3)、B(4,1)、C(1,5)，请在答题卡的坐标系中画出这三个点关于直线l的对称点A、B、C，并写出坐标。（4分）

（2）若蝴蝶翅膀的轮廓线是由抛物线y=-x2+4x-1（x∈[1,3]）与线段AB、BC围成，求该抛物线的顶点坐标，并说明其是否在对称轴l上。（4分）

2.旋转对称与敦煌藻井（12分）

敦煌莫高窟藻井图案常用旋转对称设计，图2是某藻井的中心纹样简化图，由正六边形和6个全等的菱形组成。

（1）若正六边形的边长为6cm，求其外接圆半径及内切圆半径。（4分）

（2）菱形的一个内角为60°，较短对角线与正六边形的边等长，求菱形的面积。（4分）

（3）若将整个图案绕中心顺时针旋转α度后与原图案重合，求α的最小正值，并计算旋转过程中菱形一个顶点经过的路径长度（结果保留π）。（4分）

二、函数图像与音乐波形（共25分）

1.声波的函数模拟（13分）

音乐中的简谐声波可用正弦函数y=Asin(ωx+φ)+b描述，图3是钢琴C调“do”音的声波图像片段（一个周期）。

（1）若图像最高点坐标为(0.002,0.05)，最低点坐标为(0.006,-0.05)，求A、ω、b的值。（6分）

（2）该声波的频率f（单位：Hz）与周期T满足f=1/T，求此音的频率（精确到整数）。（3分）

（3）若“mi”音的频率是“do”音的1.26倍，写出“mi”音的函数表达式（φ=0，b=0）。（4分）

2.频谱图的数据分析（12分）

图4是某电子音乐合成器生成的“和弦频谱图”，横轴为频率（单位：Hz），纵轴为振幅（单位：dB），其中三个主要频率成分对应的振幅数据如下表：

频率x（Hz）

261.6

329.6

392.0

振幅y（dB）

60

54

48

（1）判断y与x是否成反比例关系，并说明理由。（4分）

（2）若用一次函数y=kx+b拟合数据，求k和b的值，并预测频率为440.0Hz（“la”音）时的振幅。（8分）

三、几何计算与建筑美学（共25分）

1.黄金分割与古希腊神庙（13分）

雅典帕特农神庙的正面宽与高之比接近黄金分割比（约为1:0.618），图5是其立面简化矩形ABCD（AB为宽，BC为高）。

（1）若神庙宽AB=30m，求高BC的设计值（精确到0.1m）。（3分）

（2）矩形ABCD内部有一根立柱EF垂直于地面BC，且将矩形分为两个小矩形，其中AEFD与ABCD相似，求AE的长度（精确到0.1m）。（5分）

（3）立柱顶部装饰为一个正四棱锥，底面边长2m，侧棱长3m，求该棱锥的侧面积及体积。（5分）

2.分形几何与现代雕塑（12分）

图6是“科赫雪花”分形雕塑的前三次迭代图，其生成规则为：

初始图形（第0代）是边长为1的正三角形；

第n代图形是在第n-1代每条边的中间1/3处向外作小正三角形，并去除原边的中间1/3段。

（1）完成下表（结果用分数表示）：

迭代次数

边数

每边长度

图形周长

0

3

1

3

1

2

（2）求第3代图形的面积（提示：每一代新增小三角形的面积之和为上一代面积的1/3）。（6分）

四、概率统计与色彩搭配（共30分）

1.颜料混合的概率模型（15分）

某美术生用红、黄、蓝三种原色颜料调配颜色，每次随机取两种颜料混合，每种组合被选中的可能性相同。

（1）列出所有可能的混合组合（不考虑顺序），并计算调配出“橙色”（红+黄）的概率。（5分）

（2）若每种颜料有“浓”“淡”两种浓度，混合时浓度搭配规则为：

同浓度混合：浓+浓=深色调，淡+淡=浅色调；

异浓度混合：浓+淡=中间调。

求调配出“深橙色”（浓红+浓黄）的概率。（5分）

（3）在100次独立混合实验中，“中间调”出现了45次，用频率估计概率，求下次混合出现“中间调”的概率，并预测1000次实验中“浅色调”的次数。（5分）

2.画作的数据分析（15分）

某博物馆对一幅油画的色彩分布进行数字化分析，抽取100个像素点，记录其RGB颜色值（R：红，G：绿，B：蓝，取值范围0-255），部分统计数据如下：

红色通道（R）：平均数128，方差625；

绿色通道（G）：中位数100，众数95；

蓝色通道（B）：最大值200，最小值50，极差150。

（1）求红色通道数据的标准差，并判断是否有95%的像素点R值落在[78,178]范围内（参考：若数据近似正态分布，则95%数据落在μ±2σ内）。（5分）