（人教A版）必修第一册高一数学上册期末考点提升练习11 二次函数根的分布问题（解析版）.docxVIP

11二次函数根的分布问题

【方法技巧与总结】

1、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系

（1）方程有两个不等正根

（2）方程有两个不等负根

（3）方程有一正根和一负根，设两根为

2、一元二次方程的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．

设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示．

根的分布

图像

限定条件

在区间内

没有实根

在区间内

有且只有一个实根

在区间内

有两个不等实根

【题型归纳目录】

题型一：正负根问题

题型二：根在区间的分布问题

题型三：整数根问题

题型四：范围问题

【典型例题】

题型一：正负根问题

例1．已知为实数，命题甲：关于的不等式的解集为；命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围为_______．

【答案】

【解析】由命题甲：关于的不等式的解集为，

当时，不等式恒成立；

当时，则满足，解得，

综上可得．

由命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根，

则满足，整理得，

所以，解得．

所以甲、乙至少有一个为真命题时，有或，

可得，即实数的取值范围为．

故答案为：．

例2．关于x的方程的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为____________.

【答案】或

【解析】若方程有且仅有一个负实数根，则当时，，符合题意.

当时，方程有实数根，则，解得，

当时，方程有且仅有一个负实数根，

当且时，若方程有且仅有一个负实数根，则，即.

所以当或时，关于x的方程的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于x的方程的实数根中有且仅有一个负实数根”的充要条件为“或”.

故答案为：或.

例3．若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为___________.

【答案】或

【解析】首先，

设方程的两根为，则，

所以，又，解得或．

故答案为：或．

例4．已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，

得，解得.

故答案为：

例5．（1）若不等式的解集是，求的值；

（2）若，且关于的方程有两个不同的负根，求的取值范围.

【解析】（1）由题意可得和是方程的两个实根，

则解得.

（2）因为，所以，

由题可知，则或，

由题意，方程有两个负根，即解得.

综上，实数的取值范围是.

例6．已知?是一元二次方程的两个实数根．

(1)若?均为正根，求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不能存在，请说明理由．

【解析】（1）由题意，一元二次方程有两个正根?故，即，且，解得：．

（2）由题意，当，即时，有

解得：，与矛盾.故不存在实数k，使得成立

题型二：根在区间的分布问题

例7．已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【解析】设f(x)＝x2＋ax＋1，由题意知，解得－a－2.故答案为：.

例8．已知关于x的方程．

(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？

(2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？

(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？

【解析】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，

故方程的一个根大于1，另一个根小于1，

则，解得，所以a的取值范围是．

（2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，

作满足题意的二次函数的大致图象，

由图知，，

解得．所以a的取值范围是．

（3）方程的两个根都大于0，

则，解得，所以a的取值范围是．

例9．已知关于的一元二次方程，当为何值时，该方程：有不同的两根且两根在内．

【解析】令，

因为方程有不同的两根且两根在内，

所以，解得，故答案为：

例10．已知二次函数.

(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式；

(2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围．

【解析】（1）设二次函数的两个零点分别为，，

由已知得，

而，所以，故，

不等式即，解得或，

故不等式的解集为或.

（2）因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即，

解得：，即实数t的取值范围为.

例11．求实数的范围，使关于的方程

(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；

(2)有两个实根，且满足；

(3)至少有一个正根.

【答案】(1)(2)(3)

【分析】设，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.

（1）设．

依题意有，即，得．

（2）设．

依题意有，解得．

（3）设．

方程至少有一个正根，则有三种可能：

①有两个正根，此