（人教A版）必修第一册高一数学上册期末考点提升练习13 含参数二次函数的最值问题（解析版）.docxVIP

13含参数二次函数的最值问题

【方法技巧与总结】

1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；

2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；

3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；

4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。

【题型归纳目录】

题型一：定轴定区间型

题型二：动轴定区间型

题型三：定轴动区间型

题型四：动轴动区间型

题型五：根据二次函数的最值求参数

【典型例题】

题型一：定轴定区间型

例1．函数在区间上的最大值、最小值分别是（????）

A． B． C． D．最小值是，无最大值

【答案】C

【解析】，抛物线的开口向上，对称轴为，

在区间上，当时，有最小值；时，有最大值，

函数在区间上的最大值、最小值分别是：，．

故选：C．

例2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（????）

A．10，5 B．10，1

C．5，1 D．以上都不对

【答案】B

【解析】因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2，3]，

所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.

故选：B.

例3．若二次函数的图像经过点，则函数在上的最小值为___________.

【答案】

【解析】由题知，，解得

则，所以当时，有最小值.

故答案为：

例4．已知函数，当上时的最小值是________

【答案】-2

【解析】，

则二次函数在上单调递增，在上单调递减，

在上，当时有最小值－2，

故答案为：-2.

例5．已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______

【答案】80

【解析】因为，所以当时，，当时，，所以最大值和最小值之积为.

故答案为：80

题型二：动轴定区间型

例6．已知函数在区间上的最小值为．

（1）求函数的解析式．

（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．

【解析】（1）因为，

所以当时，，此时；

当时，，此时函数在区间上单调递减，

所以．综上，

（2）因为时，，所以当时，，易知函数在上单调递减，因为定义在上的函数为偶函数，且，所以，解得或，所以实数t的取值范围为．

例7．已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，故在上递增，在上递减，

当，则上递减，故最大值，

当，则最大值，

当，则上递增，故最大值，

综上，的最小值为.

故选：C

例8．已知函数．

(1)若函数为偶函数，求实数的值；

(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；

(3)求函数在区间上的最小值．

【解析】（1）因为定义在上的函数为偶函数，

所以，都有成立，即，都有成立，解得．

（2）因为函数图象的对称轴为，

所以要使函数在上具有单调性，

则，或，即或，

则的取值范围为．

（3）①若函数在上单调递减，则，即，此时函数在区间上的最小值为．

②若函数在上单调递增，则，即，此时函数在区间上的最小值为．

③若函数在上不单调，则，即，此时函数在区间上的最小值为．

综上所述，函数在区间上的最小值为.

例9．已知函数．

(1)若，求在上的最大值和最小值；

(2)求在上的最小值；

(3)在区间上的最大值为，求实数的值．

【解析】(1)时，，结合函数图像得：

在上的最大值是，最小值是；

(2)的对称轴是，

①当，即时，函数在上递增，

当时，取到最小值；

②当，即时，函数在上先递减后递增，

当时，取到最小值；

③当，即时，函数在上递减，

当时，取到最小值，

综上所得，当时，最小值；

当时，取到最小值；

当时，取到最小值.

(3)由（2）的讨论思路结合函数图像在内的

可能情况知，中必有一个是最大值；

若，代回验证：

，符合最大；

若，，代回验证：

，符合最大；

或．

例10．已知函数.其中，且.

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在上的最小值.

【解析】(1)由题知，函数，其中

当时，

则函数在区间单调递减，在区间单调递增；

当时，，

则函数在区间递增

∴综上，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.

(2)因为，所以当即时，函数在递增，在递减

且，，

若，即时，，

若，即时，，

当即时，函数在递增，在递减，在递增，

且，，

而时，，即，

所以时，，

∴综上所述，