（人教A版）必修第一册高一数学上册期末考点提升练习23 恒成立、能成立问题（解析版）.docxVIP

微专题23恒成立、能成立问题

【方法技巧与总结】

1.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

2.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，，，.

（1）若，，有成立，则；

（2）若，，有成立，则；

（3）若，，有成立，则；

（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.

【题型归纳目录】

题型一：分离参数

题型二：判别式法

题型三：数形结合

题型四：多变量的恒成立问题

题型五：主元法

题型六：直接法

【典型例题】

题型一：分离参数

例1．若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为对任意，有恒成立，

所以，

因为，所以，

所以，

故选：B

例2．对于满足等式的任意正数及任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为任意正数满足等式，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

因为任意实数，不等式恒成立，

所以，对任意实数恒成立，

因为时，，当且仅当时等号成立，

所以，，即实数的取值范围为.

故选：B

例3．已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对任意，不等式恒成立，

即对任意，恒成立，

所以对任意，恒成立，

所以对任意，，

所以，解得，

故实数x的取值范围是．

故选：D．

变式1．已知，恒成立，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，恒成立，可得在上恒成立，

即即.

故选：D.

变式2．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由关于的不等式在区间内有解，

得在区间内有解，

令，则，即，

所以实数的取值范围是．

故选：D．

题型二：判别式法

例4．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，分两种情况讨论：

①当时，即，

若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；

若时，原不等式为，无解，不符合题意；

②当时，即，

若的解集是空集，则有，解得，

则当不等式的解集不为空集时，有或且，

综合可得：实数的取值范围为；

故选：C．

例5．关于x的不等的解集为R，则a∈（????）

A． B．(0，+∞) C．(0，1) D．

【答案】D

【解析】当时，对恒成立，符合题意；

当时，构造，

要使对恒成立，由二次函数的图像可知：

且，

解得：，

综上：．

故选：D．

例6．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C．或 D．或

【答案】B

【解析】当时，则恒成立，成立；

当时，则，解得；

综上所述：实数的取值范围为.

故选：B.

变式3．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】当时，对一切实数都成立，故符合题意；

当时，要使不等式对一切实数都成立，

则，

综上可得，即；

故选：C.

变式4．对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（????）

A． B．

C．或 D．或

【答案】B

【解析】当，即时，恒成立，满足题意.

当时，则有，解得：

综上，实数的取值范围是

故选：B

变式5．已知不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（????）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】D

【解析】当时，不等式为，即，不符合题意；

当时，不等式对任意实数都成立，

由一元二次函数性质可知，且判别式，

解得．

故选:D．

题型三：数形结合

例7．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于，恒成立，则的取值范围是

A．， B．， C．， D．

【解析】解：由题可知，的图象关于轴对称，且函数在上递减，

由函数的图象特征可得在，上恒成立，得在，上恒成立，所以．

故选：．

例8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为

A． B． C．， D．

【解析】解：函数在区间上单调递增，

当时，，

若不等式恒成立，

则且

即，，

故选：．

例9．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：函数在区间上单调递增，

当时，，

若不等式恒成立，

则且

即，，

故选：．

变式6．存在，使得成立，则实数的取值范围是．

【解析】解：由题意，存在，使得，设，且，，

如图①，当时，函数在，上单调递增，此时只需，解得，故；

如图②，当时，函数的最小值为（a），显然恒成立，

如图③，当时，函数在，上单调递减，此时，解得，故；综上，实数的取值范围是．故答案为：．

题型四：多变量的恒成立