（人教A版）必修第一册高一数学上册期末考点提升练习10 求函数的值域问题 （解析版）.docxVIP

10求函数的值域问题

【方法技巧与总结】

函数值域的求法

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：

观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；

配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；

判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．

求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．

【题型归纳目录】

题型一：常见（一次函数、二次函数、正反比例函数等）函数的值域

题型二：复杂（根式型、分式型等）函数的值域

题型三：抽象函数的值域

题型四：复合函数的值域

题型五：判别式法求值域

题型六：根据值域求参数的值或者范围问题

题型七：根据函数的值域求定义域

【典型例题】

题型一：常见（一次函数、二次函数、正反比例函数等）函数的值域

例1．已知，则的值域为______.

【答案】

【解析】令，则，所以，

所以，

故的解析式为，其值域为.

故答案为：.

例2．函数的值域为________.

【答案】

【解析】由题得且.

因为,且.

所以原函数的值域为.

故答案为：

例3．已知集合，，则__________.

【答案】

【解析】由题意，，又

又

由于，又

故

故答案为：

例4．求下列函数的值域：

(1)；

(2)

(3)；

(4)．

【解析】（1）因为，，，，，所以函数的值域为．

（2）因为，且，所以，所以函数的值域为．

（3）因为，所以，所以函数的值域为.

（4）设（换元），则且，令.

因为，所以，即函数的值域为.

例5．作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：

(1)，；

(2)，．

【解析】（1）该函数的图象如图所示，由图可知值域为；

（2）作出函数，的图象，如图所示，由图象可知值域为.

题型二：复杂（根式型、分式型等）函数的值域

例6．求函数的值域．

【解析】令，则，

由及，得，所以，

则（），

为开口向下的二次函数，对称轴为，故在单调递增

因此当时，；当时，

故函数的值域为．

例7．函数；

①的值域是__________；

②的值域是__________．

【答案】????????

【解析】，

其图像可由反比例函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，如下：

当时，当时，所以的值域是，

因为当时，当时，所以的值域是，

故答案为：；

例8．函数的值域是________________．

【答案】．

【解析】，且，，，

，，故函数的值域是．

故答案为：

例9．已知函数的值域是，那么函数的定义域是___________.

【答案】.

【解析】，由得，即，解得，所以的定义域是.故答案为：.

例10．已知函数的定义域为，则函数的值域为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，定义域为，且令，，

利用对勾函数的性质知，当时，函数单减；当时，函数单增；

，即，又，所以函数的值域为故选：C

例11．函数的最大值为（????）

A． B．2 C． D．1

【答案】D

【解析】∵，∴，即函数的定义域为.令，

则，∴，∴，当且仅当时有最大值为1，当时，或1满足.故选：D

例12．（多选题）已知函数，下列说法正确的是（????）

A．的最大值为1 B．的值域为

C．的最大值为2 D．在上单调递减

【答案】ABC

【解析】A：，当时的最大值为1，故正确；

B：上递增，值域，故正确；

C：，当且仅当时取等号，故正确；

D：，在递增，故错误；故选：ABC．

例13．函数的值域为_______________．

【答案】

【解析】因为，所以此函数的定义域为，

又因为是减函数，当

当所以值域为

故答案为：．

例14．关于函数的性质描述，错误的是_________.

①的定义域为[-1，0)∪(0，1]；????????②的值域为；

③在定义域上是减函数；????????????????????④的图象关于原点对称.

【答案】③

【解析】函数满足，解得或，故函数的定义域为，，.故①正确.

当，时，

当，时，，，所以函数值域为，故②正确.

③虽然，时，函数单调递减，当，时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故③错误.

④由于定义域为，，，，则，是奇函数