多模态信号处理基础课件：傅里叶变换的性质（一）.pptxVIP

傅里叶变换

的性质（一）

傅里叶变换的性质（一）

1．线性性质

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)，则

[af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]

jt

证明：F

[af1(t)



bf2(t)][af(t)bf(t)]edt

12



af(t)ejtdtbf(t)ejtdt=aF(j)+bF(j)

1112

两层含义：

Ø齐次性：信号增大a倍，频谱函数也增大a倍。

Ø可加性：几个信号之和的频谱函数等于各信号的频谱函数之和。

傅里叶变换的性质（一）

2．奇偶虚实性

如果f(t)为实函数，则：



F(j)f(t)ejtdt=f(t)cos(t)dt-jf(t)sin(t)dt



F(jω)=|F(jω)|ej(ω)=R(ω)+jX(ω)

X()

22()=arctan

|F(j)|=R()X()R()

lR(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)；|F(jω)|=|F(–jω)|，(ω)=–(–ω)，

lf(–t)←→F(–jω)=F*(jω)

lIff(t)=f(–t)thenX(ω)=0，F(jω)=R(ω)

Iff(t)=–f(–t)thenR(ω)=0，F(jω)=jX(ω)

傅里叶变换的性质（一）

奇偶虚实性证明

设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似）



F(j)=f(t)ejtdtftcostdt-jftsintdt



关于的奇函数

显然关于的偶函数

RRXX

因为

FjFj已知，f-tF-j



所以f-tFj

傅里叶变换的性质（一）

3.对称性

若f(t)←→F(jω)，则F(jt)←→2πf(–ω)



1jt

证明：f(t)F(j)ed（1）式中

t→ω，ω→t

则

2



1jt

f()F(jt)edt

（2）式中ω

→

-ω

then

2

1

f()F(jt)ejtdt

；2f()F(jt)ejtdt

2

∴

F(j

t)

←→

2πf