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高级中学名校试卷
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河北省沧州市献县2024-2025学年高二上学期期末考试
数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于直线的斜率为,故该直线的倾斜角为.
故选:D.
2.已知向量,,若,则的值是()
A. B.0 C.1 D.2
【答案】D
【解析】因为向量,,
所以,
因为,所以,
即,解得,故D正确.
故选:D.
3.若直线与直线平行,则实数a的值为(???????)
A.0 B.1 C. D.
【答案】B
【解析】由题意得,,解得,当时,两直线均为(重合),经检验满足题意.
故选:B.
4.记为等差数列的前项和,若,,则数列的公差为()
A.3 B. C. D.6
【答案】A
【解析】因为,所以,
又,所以,
所以,所以公差.
故选:A.
5.已知定点,(),动点满足(),则动点的轨迹是()
A.椭圆的一部分 B.双曲线的一支
C.抛物线的一部分 D.直线
【答案】A
【解析】设,因为(),
所以,即(),
因为,则,
所以动点的轨迹是椭圆的一部分.
故选:A.
6.在数列中,,,则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,,
所以,,
同理,,,,,
所以数列是以6为周期的周期数列,
所以.
故选:C.
7.已知为椭圆的上焦点,是椭圆上一点,为圆上一点,则的最大值为()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】圆的圆心为,半径,设椭圆的下焦点为,
如图,由椭圆的定义知,所以,
所以,
当且仅当,,三点共线,且点在线段的延长线上时取等号,
因为,,所以,故,
故选:D.
8.已知双曲线(,)的右焦点为,点,是双曲线上关于原点对称的两点,点在第一象限,且以为直径的圆经过点,直线交双曲线于另一点,且,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图,设双曲线的左焦点为,,连接,,,
则,,,,
依题意,,由双曲线的对称性知四边形为矩形,
在中,由,得,
化简得,即,,
在中,由,
得,化简得,所以双曲线的离心率.
故选:A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞(UnitCell),其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同,保留了整个晶格的所有特征.晶胞是能完整反映晶体内部原子或离子在三维空间分布的化学结构特征的最小单元.晶胞具体形状大小由它的三组棱长,,及棱间交角,,(合称为“晶胞参数”)来表征.如图,某晶胞的形状为平行六面体,,,且.设,,,则下列说法正确的是()
A.与的夹角为 B.
C.的长为 D.平面
【答案】BC
【解析】对于选项A,因为,所以与的夹角是与的夹角,
由题意得该夹角为,由题意得,得到,
即与的夹角为,故A错误;
对于选项B,由空间向量加法法则得,
故B正确;
对于选项C,,
解得,即的长为,故C正确;
对于选项D,由已知条件得,,,
,,,,
,故D错误.
故选:BC.
10.已知数列,满足,,,,则下列说法正确的是()
A.为等差数列
B.为等比数列
C.的前项和为
D.的最小值为1
【答案】ABC
【解析】对于选项A,由于,所以,
即,且,所以是以1为首项,3为公差的等差数列,故A正确;
对于选项B,由得,
又,所以,
所以是以1为首项,2为公比的等比数列,故B正确;
对于选项C,由B知,,故,
得到的前项和,故C正确;
对于选项D,由A知,,故,
设,令,
解得,故当时,,
而,,
所以的最小值为,故D错误.
故选:ABC.
11.已知抛物线的焦点为,,是抛物线上两动点,为坐标原点,则下列说法正确的有()
A.抛物线的准线方程为
B.若,则线段的中点到轴的距离为
C.若直线经过点,过,分别作抛物线的切线交于点,则
D.若直线与轴正半轴交于点,在轴负半轴上存在点,满足,则
【答案】BCD
【解析】对于A,抛物线的标准方程为,
其准线方程为,焦点,故A错误;
对于B,设,在准线上的投影分别为,,Ax1,y1,B
根据抛物线定义,由,可得,即,
所以,所以线段的中点到轴的距离为,故B正确;
对于C,设直线,与抛物线联立,得,
所以,由于,所以,
设抛物线在Ax1,4x12
代入,得,
由得,即,同理可得,
所以,所以,故C正确;
对于D,设,则,直
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