2024-2025学年北京市丰台区高二上学期期末考试数学试题（解析版）.docxVIP

高级中学名校试卷

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北京市丰台区2024-2025学年高二上学期期末数学试题

第一部分选择题（共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知向量，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】因为，，则.

故选：A.

2.直线的倾斜角为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由直线，可得斜率为，

设直线的倾斜角为，其中，可得，所以.

故选：C.

3.与直线关于x轴对称的直线方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】设对称直线上的点为，

则其关于轴的对称点在直线上，

所以，即.

故选：B.

4.已知圆与圆外切，则（）

A. B. C.7 D.13

【答案】C

【解析】由，可得圆的圆心，半径为，

由，可得，

所以圆心为，半径为，

因为两圆外切，所，所以，

则，解得．

故选：C.

5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】向量在向量上的投影向量为.

故选：A.

6.已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】连接，圆的圆心坐标为，半径为4．

因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以，

所以，

所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以，

所以，所以点的轨迹方程为．

故选：A．

7.在空间直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若，则的最小值为（）

A. B. C. D.3

【答案】C

【解析】，

，

又因为D在平面内，所以，即，

所以，当且仅当时取等号.

所以.

故选：C.

8.设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，则，

所以，，

所以，且，

则，所以A正确．

故选：A．

9.在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果.某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线l上，是边长为1的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，，依次类推（其中点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线）.由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题意可知，第个劣弧的半径为，圆心角为，

第一次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点（不包括起点），

同理第二次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点，

以此类推，每一轮以次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点，

上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，要使曲线H长度的最小，则刚好转四轮，所以曲线H长度的最小值为.

故选：C.

10.如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为底面上一动点，则下列说法正确的是（）

A.存在点Q，使得BQ平面

B.在棱上存在点Q，使得平面

C.在线段上存在点，使得直线与所成的角为

D.存在点，使得三棱锥的体积为2

【答案】D

【解析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，

则，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

所以平面的一个法向量为，

若平面，所以，则，解得，

此时点不在底面内，故不存在点Q，使得BQ平面，故A错误；

假设在棱上存在点，使得平面，

则，所以，又，所以，解得，

此时点不在棱上，所以在棱上不存在点Q，使得平面，故B错误；

假设在线段上存在点，使得直线与所成的角为，

又，所以，

又，

所以，

所以，

整理得，，无解，

所以在线段上不存在点，使得直线与所成的角为，故C错误；

，

所以点到平面的距离为，

所以，又，

由余弦定理可得，所以，

所以，

所以，

所以存在点，使得三棱锥的体积为2，故D正确.

故选：D.

第二部分非选择题（共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知平面?的一个法向量为，平面?的一个法向量为，若，则_______.

【答案】

【解析】根据题意，若，则，又，，

所以，解得，所以.

12.直线：被圆：截得的弦AB的长为______.

【答案】

【解析】由圆：，可得圆心，半径，

于是圆心到直线的距离，

从而得，所以弦的长为.

13.在棱长为2的正四面体中，M，N分别