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2025年江苏省专升本高数二练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)在区间（∞，+∞）内的极大值点是（）

A.x=0

B.x=1

C.x=1

D.x=2

答案：B

解析：f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0。所以x=1是f(x)的极大值点，x=1是极小值点。

2.设函数f(x)=e^x(x2)，则f(x)的单调递增区间为（）

A.(∞,0)

B.(0,2)

C.(2,+∞)

D.(∞,+∞)

答案：C

解析：f(x)=e^x(x1)，令f(x)0，得x1。所以f(x)的单调递增区间为(2,+∞)。

3.设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(x)的周期为（）

A.π

B.2π

C.2π/3

D.π/2

答案：B

解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，周期为2π。

4.设函数f(x)=x^2+3x+c在x=1处取得极小值，则c=（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：C

解析：f(x)=2x+3，令f(x)=0，得x=3/2。又因为f(x)在x=1处取得极小值，所以f(1)=0，解得c=1。

5.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的n阶导数f^(n)(x)的通项公式为（）

A.f^(n)(x)=x^2e^x

B.f^(n)(x)=(2n+1)x^ne^x

C.f^(n)(x)=(2n+1)!e^x

D.f^(n)(x)=(2n)!e^x

答案：B

解析：f(x)=x^2e^x，f(x)=(2x+x^2)e^x，f(x)=(2+4x+x^2)e^x，以此类推，可得到f^(n)(x)=(2n+1)x^ne^x。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数y=x^33x+1的拐点为（）

答案：(1,1)

7.函数f(x)=e^x(x2)在x=1处的切线方程为（）

答案：ye=(e1)(x1)

8.设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值。

答案：最大值√2，最小值√2

9.设函数f(x)=x^2+3x+c，在x=1处取得极小值，求c的值。

答案：c=1

10.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的n阶导数f^(n)(x)的通项公式。

答案：f^(n)(x)=(2n+1)x^ne^x

三、解答题（每题25分，共75分）

11.设函数f(x)=x^33x+1，求f(x)在区间（∞，+∞）内的极值点及极值。

答案：f(x)的极大值点为x=1，极大值为f(1)=3；极小值点为x=1，极小值为f(1)=1。

12.设函数f(x)=e^x(x2)，证明f(x)在x=2处取得极小值。

答案：f(x)=e^x(x1)，f(x)=e^x(x2+1)=e^x(x1)。因为f(2)=0，f(2)=e^20，所以f(x)在x=2处取得极小值。

13.设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值，并求出相应的x值。

答案：f(x)在x=π/4时取得最大值√2，在x=5π/4时取得最小值√2。