2025年江苏省专升本数学真题及答案.docxVIP

2025年江苏省专升本数学练习题及答案

一、选择题（每题4分，共40分）

1.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在(a,b)内有两个不同的零点，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在(a,b)内至少有三个极值点

B.f(x)在(a,b)内至少有一个极值点

C.f(x)在(a,b)内至少有两个极值点

D.f(x)在(a,b)内可能有极值点

答案：B

解析：根据零点定理，若函数在区间(a,b)内有两个不同的零点，则至少存在一个极值点。其他选项无法确定。

2.设函数f(x)=x^33x^2+2x，则f(x)的单调递增区间是（）

A.(∞,0]

B.[0,2]

C.[1,2]

D.[0,1]

答案：A

解析：f(x)=3x^26x+2，令f(x)0，解得x0或x1。所以f(x)的单调递增区间是(∞,0]。

3.若函数f(x)=e^x2x，则f(x)在x=0处的极值是（）

A.0

B.1

C.2

D.1

答案：B

解析：f(x)=e^x2，f(0)=120，f(x)=e^x0。所以f(x)在x=0处取得极大值，且f(0)=1。

4.设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在区间(a,b)内至少有一个极值点

B.f(x)在区间(a,b)内至少有两个极值点

C.f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点

D.f(x)在区间(a,b)内可能有零点

答案：D

解析：根据罗尔定理，若f(a)=f(b)，则在区间(a,b)内至少存在一个点c，使得f(c)=0。但无法判断f(x)在区间(a,b)内是否有零点。

5.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)的拐点是（）

A.(0,1)

B.(1,0)

C.(1,3)

D.(1,3)

答案：C

解析：f(x)=3x^23，f(x)=6x。令f(x)=0，解得x=0。当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0。所以f(x)的拐点是(1,3)。

二、填空题（每题4分，共40分）

6.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)=0，f(b)=1，则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点的充分必要条件是________。

答案：f(x)在区间(a,b)内可导。

解析：根据零点定理，f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点的充分必要条件是f(x)在区间(a,b)内连续且可导。

7.设函数f(x)=2x^33x^2+x+1，则f(x)在x=1处的切线方程是________。

答案：y=3x1。

解析：f(x)=6x^26x+1，f(1)=3。切线方程为y3=(66+1)(x1)，即y=3x1。

8.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f(x)0，则f(x)在区间(a,b)内是________。

答案：单调递增。

解析：由于f(x)0，说明f(x)是单调递增的，所以f(x)在区间(a,b)内也是单调递增的。

9.设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(x)的周期是________。

答案：2π。

解析：sin(x)和cos(x)的周期都是2π，所以f(x)的周期也是2π。

10.设函数f(x)=x^2+3x+2，则f(x)的顶点坐标是________。

答案：(3/2,1/4)。

解析：f(x)=(x+3/2)^21/4，顶点坐标为(3/2,1/4)。

三、解答题（共20分）

11.（10分）已知函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调区间和极值。

解答：f(x)=3x^26x，令f(x)=0，解得x=0或x=2。

当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0。

所以f(x)在(∞,0)和(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减。

f(0)=4，f(2)=2。所以f(x)在x=0处取得极大值4，在x=2处取得极小值2。

12.（10分）已知函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的拐点。

解答：f(x)=2xe^x+x^2e^x，f(x)=2e^x+4xe^x+x^2e^x。

令f(x)=0，解得x