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2025年江苏省专升本数学（理科）练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x，则f(x)的单调递增区间是（）

A.(∞,0)

B.(0,+∞)

C.(∞,1)

D.(1,+∞)

答案：D

解析：f(x)=3x^23，令f(x)0，得x1或x1。所以f(x)在区间(1,+∞)单调递增。

2.已知函数y=f(x)在x=2处取得极小值，且f(2)=0，f(2)0，则以下结论正确的是（）

A.f(x)在x=2左侧单调递增

B.f(x)在x=2右侧单调递增

C.f(x)在x=2左侧单调递减

D.f(x)在x=2右侧单调递减

答案：C

解析：f(2)=0，f(2)0，说明在x=2处f(x)取得极小值，因此在x=2左侧f(x)单调递减。

3.设函数g(x)=x^2+kx+1，若g(x)在实数范围内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）

A.k0

B.k0

C.k≠0

D.k∈R

答案：B

解析：g(x)的判别式为Δ=k^24，若g(x)有两个不同的实数根，则Δ0，即k^240，得k0。

4.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则满足条件的实数k与b的关系是（）

A.k^2+b^2=1

B.k^2+b^2=2

C.k^2b^2=1

D.k^2b^2=2

答案：A

解析：圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k01b+b|/√(k^2+1)=1，解得k^2+b^2=1。

5.已知函数y=ln(x1)的定义域为（）

A.(∞,1]

B.(1,+∞)

C.(∞,1)

D.[1,+∞)

答案：B

解析：对数函数的定义域要求x10，即x1，所以定义域为(1,+∞)。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.若函数f(x)=x^33x^2+2x+5在x=a处取得极大值，则a=_______。

答案：a=1

解析：f(x)=3x^26x+2，令f(x)=0，得x=1或x=2/3。当x=1时，f(x)0，故f(x)在x=1处取得极大值。

7.设函数y=f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，且满足f(x+1)=f(x)+1，求f(2)的值。

答案：f(2)=2

解析：由题意可知f(x+1)f(x)=1，所以f(2)f(1)=1，f(1)f(0)=1，得f(2)=f(1)+1=f(0)+2。又因为f(x)在(0,+∞)单调递增，所以f(2)f(1)f(0)，且f(2)f(0)=2，所以f(2)=2。

8.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，且b=2，求k的值。

答案：k=±√3/3

解析：将b=2代入|k012+2|/√(k^2+1)=1，解得k=±√3/3。

9.已知函数y=f(x)在x=1处取得极小值，且f(1)=0，f(1)0，求f(1)的值。

答案：f(1)=任意实数

解析：f(1)=0，f(1)0，说明f(x)在x=1处取得极小值，但f(1)的具体值无法确定。

10.设函数g(x)=x^2+kx+1，若g(x)在实数范围内有两个不同的实数根，且一个根大于2，另一个根小于2，求k的取值范围。

答案：k8或k8

解析：g(x)的两个根分别为x1和x2，由题意可知x12，x22，所以x1+x20，x1x24。根据韦达定理，得k=(x1+x2)0，且k^24x1x216，所以k8或k8。

三、解答题（每题20分，共60分）

11.设函数y=f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的单调区间、极值及其对应的x值。

答案：f(x)的单调递增区间为(∞,1)和(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)；f(x)在x=1处取得极大值，f(1)=5；f(x)在x=3处取得极小值，f(3)=8。

解析：f(x)=3x^212x+9，令f(x)=0，得x=1和x=3。当x1或x3时，f(x)0；当1x3时，f(x)0。所以f(x)在(∞,1)和(