2024—2025学年广东省深圳实验学校高中部高一下学期第一次段考数学试卷.docVIP

2024—2025学年广东省深圳实验学校高中部高一下学期第一次段考数学试卷

一、单选题

(★)1.已知复数，则（）

A．0

B．

C．2

D．

(★★)2.下列命题中，正确的是（）

A．若，则与方向相同或相反

B．若，则

C．“”是，共线”的充要条件

D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等

(★★)3.设向量，，向量与的夹角为锐角，则的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)4.已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（）

A．

B．或

C．

D．或

(★★★)5.在中，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（）

A．船头方向与水流方向垂直

B．

C．

D．该船到达对岸所需时间为3分钟

(★★★)7.如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（）

A．满足的点P必为的中点

B．满足的点P有两个

C．满足的点P有且只有一个

D．的点P有两个

(★★★★)8.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（）

A．1

B．2

C．

D．

二、多选题

(★★)9.若复数．则下列命题是真命题的是（）

A．

B．

C．

D．若是关于的方程的根．则

(★★★)10.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，下面四个结论中正确的是（）

A．，，则的外接圆半径是4

B．若，则一定是钝角三角形

C．若，则为直角三角形

D．

(★★★★)11.已知点P在所在的平面内，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则下列命题正确的是（）

A．若P为的垂心，，则

B．若，则O为的内心

C．若为锐角三角形且外心为P，且，则

D．若，则动点P的轨迹经过的外心

三、填空题

(★★)12.若向量，，则在方向上的投影向量坐标为________.

(★★)13.某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图所示.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为、、，，米，则该建筑的高度______米.

(★★★)14.已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是______.

四、解答题

(★★)15.已知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位.

(1)求复数；

(2)若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围

(★★)16.如图，在中，.设.

(1)用表示；

(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.

(★★★)17.在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____.

(1)求角A的大小；

(2)求的取值范围；

(3)若BC边上的中线长为，，求的面积.

(★★★)18.克罗狄斯托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作如图所示的等边三角形

(1)在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值；

(2)当线段OC的长取最大值时，求的大小；

(3)求面积的最大值.

(★★★★★)19.对于平面向量，定义“变换”：，

(1)若向量，，求；

(2)求证：；

(3)已知，，且与不平行，，，求证：．