2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第02讲平面向量基本定理及坐标表示(复习讲义)(原卷版+解析版).docxVIP

第02讲平面向量基本定理及坐标表示

目录

01TOC\o1-3\h\u考情解码?命题预警 2

02体系构建·思维可视 3

03核心突破·靶向攻坚 4

知能解码 4

知识点1平面向量的基本定理 4

知识点2平面向量的正交分解 4

知识点3平面向量的坐标运算 4

知识点4平面向量共线的坐标表示 5

题型破译 5

题型1对基向量概念的理解 5

题型2用基底表示向量 6

题型3利用平面向量基本定理求参数 7

【方法技巧】对应系数相等求参数

【易错分析】向量的分解易错

题型4平面向量的坐标运算 8

题型5向量共线的坐标表示 9

04真题溯源·考向感知 10

05课本典例·高考素材 11

考点要求

考察形式

2025年

2024年

2023年

（1）理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基选定后，会用这组基来表示其他向量；

（2）借助平面坐标系，掌握平面向量的坐标表示；

（3）理解向量坐标的运算及中点坐标公式；

（4）掌握平面向量平行的坐标表示．

?单选题

?多选题

?填空题

?解答题

全国二卷，12题，5分

新课标I卷，第3题，5分

全国甲卷，第9题，5分

上海卷，第5题，4分

新课标I卷，第3题，5分

考情分析：

掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；

理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

复习目标：

（1）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题；

（2）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来，解决一些平面向量的计算问题；

（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关应用．

知识点1平面向量的基本定理

条件

e1，e2是同一平面内的两个.

结论

对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝.

基底

若e1，e2.，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底

自主检测在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（???）

A． B．

C． D．

知识点2平面向量的正交分解

1、正交基、正交分解及标准正交基

（1）若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基；

（2）在正交基下向量的线性表示称为正交分解；

（3）若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为.．

（4）把一个向量分解为两个.的向量，叫做把向量作正交分解.

自主检测已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．

(1)用坐标表示；

(2)求的模长；

(3)求顶点A的坐标．

知识点3平面向量的坐标运算

1、平面向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作eq\o(OP,\s\up6(→))＝a（通常称eq\o(OP,\s\up6(→))为位置向量）．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝xi＋yj．

因此，a＝xi＋yj．

我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)．

2、点的坐标与向量坐标间的关系

在平面直角坐标系中，点的位置被它的位置向量所唯一确定，设点的坐标为，容易看出，即点的位置向量的坐标也就是点的坐标；反之，点在平面直角坐标系中的坐标也是点所决定的位置向量的坐标．

3、平面向量的坐标运算

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

数学公式

文字语言表述

向量加法

a＋b＝.

两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和

向量减法

a－b＝.

两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差

向量数乘

λa＝.

实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积

自主检测若向量，，则的坐标为（????）

A． B． C． D．

知识点4向量坐标的坐标表示

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量，

即任意一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．

自主检测已知向量，，若，则y的值为（????）

A． B． C．2 D．

题型1对基向量概念的理解

例1-1若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（????）

A．与 B．与 C．与 D．与

例1-2（多选）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（???）

A．和 B．和

C．和 D．和

方法技巧向量的有关概念