(人教A版数学选择性必修一)2025年秋季学期讲义第23讲2.5.2圆与圆的位置关系(学生版+教师版).docxVIP

第10讲2.5.2圆与圆的位置关系

课程标准

学习目标

①掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法。

②会应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题。

通过本节课的学习，会判断两圆的位置关系，会求与两圆位置有关的点的坐标、公共弦长及公共弦所在的直线方程，能求与两圆位置关系相关的综合问题.

知识点01：圆与圆的位置关系

1、圆与圆的位置关系

(1)圆与圆相交，有两个公共点；

(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；

(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.

图象

位置关系

图象

位置关系

外

离

外

切

相

交

内

切

内

含

2、圆与圆的位置关系的判定

2.1几何法

设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.

①当时，两圆相交；

②当时，两圆外切；

③当时，两圆外离；

④当时，两圆内切；

⑤当时，两圆内含.

2.2代数法

设:

:

联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其

①与设设相交

②与设设相切（内切或外切）

③与设设相离（内含或外离）

【即学即练1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C:的位置关系是（????）

A．相交 B．相离 C．外切 D．内切

【答案】C

【详解】圆是以为圆心，半径的圆，

圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆，

则，=3，所以两圆外切，

故选：.

知识点02：圆与圆的公共弦

1、圆与圆的公共弦

圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.

2、公共弦所在直线的方程

设:

:

联立作差得到：即为两圆共线方程

3、公共弦长的求法

代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．

几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．

【即学即练2】（2022秋·高二课时练习）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.

故选：D.

知识点03：圆与圆的公切线

1、公切线的条数

与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．

（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；

（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；

（3）两圆相交时，只有2条外公切线；

（4）两圆内切时，只有1条外公切线；

（5）两圆内含时，无公切线．

2、公切线的方程

核心技巧：利用圆心到切线的距离求解

【即学即练3】（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】圆的圆心坐标为，半径为5；

圆的圆心坐标为，半径为3，

所以两圆的圆心距为，

因为，所以两圆相交，

所以两圆的公切线有2条.

故选：B.

知识点04：圆系方程

(1)以为圆心的同心圆圆系方程：；

(2)与圆同心圆的圆系方程为；

(3)过直线与圆交点的圆系方程为

4过两圆，圆：交点的圆系方程为

（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.

两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.

【即学即练4】（2022秋·高二单元测试）求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程.

【答案】

【详解】设圆的方程为，

则，

即，所以圆心坐标为，

把圆心坐标代入得，解得，

所以所求圆的方程为．

题型01判断圆与圆的位置关系

【典例1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C:的位置关系是（????）

A．相交 B．相离 C．外切 D．内切

【典例2】（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（????）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

【典例3】（多选）（2023春·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知圆和圆，则下列结论正确的是（????）

A．圆与圆外切

B．直线与圆相切

C．直线被圆所截得的弦长为2

D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10

【变式1】（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）圆与圆的位置关系为（????）．

A．相交 B．内切 C．外切 D．外离

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（????）

A．外切 B．内切 C．相交 D．外离

题型02求两圆交点坐标

【典例1】（2022·高二课前预习）圆与圆的交点坐标为（????）

A．和 B．和

C．和 D．和

【典例2】（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆：和圆：交于，两点，则线段的垂直平分线的方程是______.

【变式1】（2023秋·青海西宁·高二校考期末）圆与的交点坐标为______.

【变式2】（2022·高