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上海市大同中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知函数在处的导数，则．

2．已知函数的导函数为，且满足，则．

3．若在上单调递增，则的取值范围是．

4．已知的图象如图所示，则与的大小关系是．

??

5．已知函数，则．

6．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是．

7．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是.

8．若实数，，，满足，则的最小值为．

9．已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则.

10．若函数，则；曲线在点处的切线方程为.

11．已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为

12．设函数，，若存在，使得成立，则实数的最大值为．

二、单选题

13．如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（???）

A．在区间上是增函数

B．在区间上是减函数，在区间上是增函数

C．是的极大值点

D．是的极小值点

14．函数的单调增区间是（）

A． B．

C． D．

15．已知函数，则下列结论错误的是（???）

A．函数存在两个不同的零点

B．函数既有极大值又有极小值

C．当时，方程有且只有两个实根

D．若时，，则的最小值为2

16．已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（???）

A． B． C． D．

三、解答题

17．已知函数，点在曲线上.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求曲线过点的切线方程.

18．已知函数.

(1)若，求实数的值;

(2)求函数的单调区间.

19．2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，红星机械厂积极响应决定投资生产产品．经过市场调研，生产产品的固定成本为300万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为200元，通过市场分析，生产的产品可以全部销售完．

(1)求利润函数的解析式；

(2)求利润函数的最大值．

20．定义：如果函数在定义域内存在实数，使成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数.

(1)若，求曲线在处的切线方程；

(2)若在上存在1级“平移点”，求的取值范围.

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《上海市大同中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

A

B

D

B

1．

【分析】由导数的定义求解即可.

【详解】.

故答案为：.

2．

【分析】对给定等式两边求导，令，解方程作答.

【详解】依题意，对两边求导得：，

当时，，解得，

所以.

故答案为：－1

3．

【分析】求得导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，求得的取值范围.

【详解】∵，∴，????

∵函数在区间上单调递增，

∴在区间上恒成立，

由于在区间上单调递增，

∴必须且只需

解得，

故答案为：.

4．

【分析】利用导数的几何意义,根据图形中函数图象在点处的切线下降和陡峭程度判断即可.

【详解】和分别表示函数图象在点处的切线斜率，

??

由图知:函数图象在点处的切线斜率均为负，且处切线更陡，

所以，

所以．

故答案为：.

5．

【分析】求导赋值得即可得，，代入求值即可.

【详解】因为，所以，

令，可得，

解得，所以，，

所以.

故答案为：.

6．

【分析】函数在区间上有极值点，转化为在区间上有解即可求解.

【详解】由已知得，若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得．

故答案为：

7．

【分析】由题意在上恒成立，再参变分离求导分析单调性求解最值即可.

【详解】由题意得的定义域为.

在上恒成立，即在上恒成立.

设，则，.

当时，，

所以在上单调递增，所以，所以，

即实数a的取值范围是.

故答案为：

8．

【分析】看做两点间的距离，问题转化为曲线上动点与直线上动点的距离的最小值，转化为求与直线平行且与曲线相切的直线的切点问题，即可得解.

【详解】实数，，，满足，

，．分别设，．

则的最小值可看做曲线和直线上的动点与的最小距离，

设直线与曲线相切于点，．

则，，解得，．

．点到直线的距离．

即的最小值为．