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第03讲等式与不等式的性质
目录
TOC\o1-2\h\u01常考题型过关练
题型01作差法、作商法比较两数（式）的大小
题型02利用不等式的性质判断命题真假
题型03利用不等式的性质证明不等式
题型04利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
题型05不等式的综合
02核心突破提升练
03真题溯源通关练
01作差法、作商法比较两数（式）的大小
1．（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（???）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
2．假设买水两次，两次买水的价格有变动，第一次a元/瓶，第二次b元/瓶，有以下两种方案买水（假设十元钱刚好能买到整数瓶水），方案一：每次买十元钱的水，买两次；方案二：每次买十瓶水，买两次．则下列说法正确的是（????）
A．用两种买水方案买水的花费一样
B．用“方案二”买水比较划算
C．用“方案一”买水比较划算
D．用哪种方案买水比较划算与a，b的大小有关
【答案】C
【详解】方案一：平均每瓶的价格为（元）；方案二：平均每瓶的价格为（元）．由于，故方案一比较划算．
3．每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（????）
A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定
【答案】A
【详解】设两次加油的油价分别为，（，且），乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为，
则乙方案的平均油价为：，甲方案的平均油价为：，
因为，
所以，即甲方案更经济．
故选：A
4．两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（????）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【详解】若先取者取和，
则，
根据，且，不能确定大小关系，A错误；
若先取者取和，
则，
根据，且，不能确定大小关系，B错误；
若先取者取和，
则
，
根据，且，所以上式大于0，C正确，D错误.
故选：C
5．若，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵ab0，
∴，且．
∴作商得：．
∴．
02利用不等式的性质判断命题真假
6．若，，则（???）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误．
7．若，，为非零实数，且，，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，，则，，
因为此时，故A不成立；
，故B不成立；
，故D不成立；
根据不等式的基本性质：，，故C成立.
故选：C
8．下列命题是假命题的为（???）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若，则
【答案】A
【详解】对于A，，因，则，
又，则，故A错误；
对于B，由不等式同向可加性可知，当时，，故B正确；
对于C，，因，则，又，
则，故C正确；
对于D，，因，则，
，则，
故D正确．
故选：A
9．（多选）已知，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A：
，又，由加法性质知，A正确,
对于B：,,，B正确,
对于C：,
,,但是的正负号不确定,
与大小关系不确定，C错误,
对于D：,,
，又,，D正确,
故选：ABD.
10．（多选）若，且，则（???）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】B选项，，
又，故，
由可得，即，
由可得，
所以，故，
由可得，即，
所以，B正确；
不妨设，满足和，
此时，，AD错误；
两边同除以得，
，，故，即，
不等式两边同除以得，
所以，C正确；
故选：BC
03利用不等式的性质证明不等式
11．（多选）下列说法正确的有（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【详解】A中，因为，可得，所以，所以A正确；
B中，若，也可以，所以不正确，所以B不正确；
C中，，
因为，，而，所以，即，所以C正确；
D中，若，当时，则，则错误，所以D不正确．
故选：AC．
12．（1）已知，，，求证：；
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以．
（2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以．
13．已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由，则，故，
由，则，故，
所以，得证.
（2）由，而，
所以，即，得证.
14．设，，，证明：．
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