2026版创新设计高考总复习数学人教A版学生用-第5节　不等式恒(能)成立问题.docxVIP

第5节不等式恒（能）成立问题

题型分析恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大.

题型一分离参数法求参数范围

例1(2020·全国Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.当x≥0时，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1恒成立，求a的取值范围.

思维建模1.分离参数，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，这要比分类讨论法简便很多.

2.a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；

a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；

a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；

a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.

训练1已知函数f(x)＝ex－ax－1，若f(x)≤x2在(0，＋∞)上有解，求实数a的取值范围.

洛必达法则

1.在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“eq\f(0,0)”型或“eq\f(∞,∞)”型的代数式，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则.

2.洛必达法则

法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

(1)limx→aeq^\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝0及limx→aeq^\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)

(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；

(3)eq^\o(lim,\s\do4(x→a))limx→aeq\f(f′（x）,g′（x）)＝A，那么eq^\o(lim,\s\do4(x→a))limx→aeq\f(f（x）,g（x）)＝eq^\o(lim,\s\do4(x→a))limx→aeq\f(f′（x）,g′（x）)＝A.

法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

(1)limx→aeq^\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝∞及eq^\o(lim,\s\do4(x→a))limx→ag(x)

(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；

(3)eq^\o(lim,\s\do4(x→a))limx→aeq\f(f′（x）,g′（x）)＝A，那么eq^\o(lim,\s\do4(x→a))limx→aeq\f(f（x）,g（x）)＝eq^\o(lim,\s\do4(x→a))limx→aeq\f(f′（x）,g′（x）)＝A.

典例(1)(2025·深圳模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1).若对任意x＞0都有f(x)＞ax成立，求实数a的取值范围.

(2)已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)x3－a，求a的取值范围.