2026版创新设计高考总复习数学人教A版学生用-第11节　圆锥曲线中的轨迹问题.docxVIP

第11节圆锥曲线中的轨迹问题

知识拓展

1.曲线C与方程F(x，y)＝0满足两个条件：(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程.

2.求曲线方程的基本方法主要有：

(1)定义法：若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，于是就确定了曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求解的方法称为定义法.

(2)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，直接将条件翻译成等式，整理化简后即得到动点的轨迹方程.

(3)相切点法(代入法)：如果动点满足的限制条件不容易直接列出等式，但是动点随着另一相关点的运动而运动，这时可用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程的方法称为相关点法.

(4)参数法：如果动点本身所满足的条件式中含有一个参数，或在运动过程中受到某个变量的制约，那么以此变量为参数，建立轨迹的参数方程，再设法消去参数，即可得到轨迹的方程，这种方法称为参数法.

(5)变轨法：如果动点是两条曲线的交点，则其坐标同时满足两条曲线方程，那么消去辅助量即可求得动点的轨迹，这种方法称为交轨法.

题型一定义法

例1若动圆与两定圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝49都外切，则动圆圆心的轨迹方程是____________.

思维建模利用定义法求轨迹方程时，要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.

训练1(2025·佛山质检)若点P(x，y)满足方程eq\r(（x－1）2＋（y－2）2)＝eq\f(|3x＋4y＋12|,5)，则点P的轨迹是()

A.圆 B.椭圆

C.双曲线 D.抛物线

题型二直接法

例2(2025·南宁模拟)已知点A(－2，0)，B(2，0)，直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，若k2－k1＝1，则点P的轨迹为不包含A，B两点的()

A.直线 B.椭圆

C.双曲线 D.抛物线

思维建模直接法求轨迹方程时，最关键的就是把几何条件或等量关系翻译成代数方程，再建系、设点、列式、代换、化简、证明.最后的证明这一步骤可以省略，求出轨迹的方程后还需注意检验方程的“纯粹性”和“完备性”.

训练2已知M(－2，0)，N(2，0)，点P满足eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝12，则点P的轨迹方程为()

A.eq\f(x2,16)＋y2＝1 B.x2＋y2＝16

C.y2－x2＝8 D.x2＋y2＝8

题型三相关点法(代入法)

1.教材母题(人教A选修一P108例2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？

2.教材母题(苏教选修一P84例3)将圆x2＋y2＝4上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.

例3(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线