2026版创新设计高考总复习数学人教A版学生用-第3节　函数的奇偶性、周期性.docxVIP

第3节函数的奇偶性、周期性

课标要求1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.

【知识梳理】

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果?x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于________________对称

奇函数

一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果?x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于______________对称

2.周期性

(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________的正数，那么这个____________就叫做f(x)的最小正周期.

[常用结论与微点提醒]

1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

2.函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0).

(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a0).

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.()

(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()

(3)若T是函数f(x)的一个周期，且f(x)的定义域为R，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期.()

(4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.()

2.(苏教必修一P124例1改编)(多选)给出下列函数，其中是奇函数的有()

A.f(x)＝x4

B.f(x)＝x5

C.f(x)＝x＋eq\f(1,x)

D.f(x)＝eq\f(1,x2)

3.(人教A必修一P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为____________.

4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(－1)＝1，则f(2025)＝__________.

考点一函数奇偶性的判断

例1判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；

(2)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x＜0，,－x2＋x，x＞0；))

(3)f(x)＝log2(x＋eq\r(x2＋1)).

思维建模判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数.

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.

训练1(1)(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是()

A.f(x)＝eq\f(ex－x2,x2＋1) B.f(x)＝eq\f(cosx＋x2,x2＋1)

C.f(x)＝eq\f(ex－x,x＋1) D.f(x)＝eq\f(sinx＋4x,e|x|)

(2)(2025·新乡模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y＋1)＝f(x)＋f(y)，则下列结论一定正确的是()

A.f(x)＋1是奇函数 B.f(x－1)是奇函数

C.f(x)－1是奇函数 D.f(x＋1)是奇函数

考点二函数的奇偶性的应用

角度1求解析式(参数或值)

例2(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.

(2)(2024·邯郸二模)已知b0，函数f(x)＝eq\f(a＋4bx,2x)是奇函数，则a＝______