2026版创新设计高考总复习数学人教A版学生用-第16节　解析几何中的融合创新问题.docxVIP

第16节解析几何中的融合创新问题

题型分析解析几何中的融合创新问题主要有以下几个方面：(1)与圆锥曲线有关的新定义问题；(2)圆锥曲线与数列的交汇问题；(3)圆锥曲线与导数的交汇问题.

题型一与圆锥曲线有关的新定义问题

例1(2025·石家庄调研)在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的“距离”为|AB|＝|x2－x1|＋|y2－y1|，我们把到两定点F1(－c，0)，F2(c，0)(c0)的“距离”之和为常数2a(ac)的点的轨迹叫“椭圆”.

(1)求“椭圆”的方程；

(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；

(3)设c＝1，a＝2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C，C的左顶点为A，过F2作直线交C于M，N两点，△AMN的外心为Q，求证：直线OQ与MN的斜率之积为定值.

思维建模1.题干中定义“椭圆”的距离：|AB|＝|x2－x1|＋|y2－y1|称为曼哈顿距离，平面内到一个定点的曼哈顿距离等于定值的点的轨迹是一个正方形，到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹是一个六边形.

2.解决与曼哈顿距离有关的问题一般要利用绝对值的意义求解.

训练1(2024·武汉模拟)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0，则称该三角形为“核心三角形”.

(1)设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；

(2)已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2.

题型二圆锥曲线与数列、导数的交汇问题

例2(2024·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：x2－y2＝m(m0)，点P1(5，4)在C上，k为常数，0k1.按照如下方式依次构造点Pn(n＝2，3，…)，过点Pn－1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn－1，令Pn为Qn－1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为(xn，yn).

(1)若k＝eq\f(1,2)，求x2，y2；

(2)证明：数列{xn－yn}是公比为eq\f(1＋k,1－k)的等比数列；

(3)设Sn为△PnPn＋1Pn＋2的面积，证明：对于任意的正整数n，Sn＝Sn＋1.