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上海市松江一中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．复数（其中为虚数单位）的虚部是．

2．已知向量，若//，则tanθ=

3．已知是平面内两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的数量投影．

4．如图是一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积等于．

5．若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为．

6．一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为．

7．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为．

8．一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成角，沿这条直道向上100米后，升高了米．

9．已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是.

10．已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为．

11．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为公里.

12．在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足，则点P的运动轨迹的周长是.

二、单选题

13．设，则“”是“”的（????）

A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；

C．充要条件； D．既非充分也非必要条件.

14．若，是两个不同平面，，是两条不同直线，则下列命题中不正确的是

A．，，则

B．，，则

C．，，则

D．，与，所成的角相等，则

15．在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（???）

A．四棱锥 B．四棱锥

C．三棱锥 D．三棱锥

16．如图，将正四棱柱斜立在平面上，顶点在平面内，平面，.点在平面内，且.若将该正四棱柱绕旋转，则的最大值为（?????）

A． B． C． D．

三、解答题

17．如图是由一个长方体和一个圆柱组成的组合体.

（1）求该组合体的表面积；

（2）求该组合体的体积.

18．已知函数在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．

??

(1)求的解析式；

(2)在中，若，，，求．

19．如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点．

(1)求证：平面；

(2)求与平面的所成角；

(3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

20．如图，是以点为圆心，为半径的上的点，点、关于直线对称，，．如果以线段所在直线为实轴，以线段所在直线为虚轴，建立复平面．则两点在复平面内对应的复数分别为．

(1)求的值；

(2)求的正弦值；

(3)点在何位置时，五边形的面积取到最大值，并求出该最大值．

21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.

(1)已知，求；

(2)若向量，求证：；

(3)记，且满足，求的最大值.

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《上海市松江一中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

B

D

D

D

1．-1

【分析】根据复数的概念可知.

【详解】由题可知：的虚部是-1.

故答案为：-1

2．

【分析】根据向量平行的坐标运算得到，进而结合同角的商数关系即可求出结果.

【详解】因为//，且，所以，显然，所以，即；

故答案为：.

3．/0.5

【分析】根据向量投影的概念计算即可.

【详解】由题可知：向量在向量上的数量投影.

故答案为：

4．

【分析】根据已知有是等腰直角三角形且，结合斜二测画法确定原图的相关边长，进而求面积.

【详解】由题设，易知是等腰直角三角形，

，

所以原图中，，

则原图面积为.

故答案为：.

5．4

【分析】设关于的方程的两根虚根为，则且，即可求出的值，再代入检验.

【详解】设关于的方程的两根虚根