高中数学选择性必修第二册（配人教A版）第4章 等比数列前n项和的应用.pptxVIP

第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式第2课时等比数列前n项和的应用

学习任务目标1．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．(数学建模)2．能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题．(数学运算)

问题式预习01

知识点分组求和某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．

[微训练]1．数列{2n－1}的前n项和Sn＝________．2n+1－2－n解析：Sn＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋23＋…＋2n)－n＝2n+1－2－n.2．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋an＋1＝4×3n-1，则S2020＝________．?

任务型课堂02任务一等比数列前n项和的实际应用任务二分组求和法任务三等差数列、等比数列的综合问题

任务一等比数列前n项和的实际应用1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．2盏B．3盏C．5盏D．6盏?

2．为了庆祝元旦，某公司特意制作了一个热气球，在热气球上写着“喜迎新年”四个大字．已知热气球在第一分钟上升25m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟上升高度的80%，则该气球________上升到125m高空．(填“能”或“不能”)?

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任务二分组求和法[探究活动]“提丢斯数列”由18世纪德国天文学家提丢斯给出．首先构造数列：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个新数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…；再将新数列的每一项除以10后便得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，….探究1：数列0，3，6，12，24，48，96，192，…是等比数列吗？提示：不是．

探究2：根据叙述，你能写出“提丢斯数列”的通项公式吗？?

探究3：“提丢斯数列”的前31项和为多少？?

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(2)数列{an}的前n项和Sn.?

2．在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.(1)求数列{an}的通项公式；解：设等差数列{an}的公差为d.依题意得a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，从而d＝－3.又a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1.所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.

(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为|a2|的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.?

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任务三等差数列、等比数列的综合问题1．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，则S10－S4＝________．?

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3．已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；解：由题意，得a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13.由(a3＋1)2＝(a1＋1)(a7＋1)，得(a1＋5)2＝(a1＋1)(a1＋13)，解得a1＝3．所以an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1.

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【类题通法】数列求和问题的求解方法若数列{an}既不是等差数列又不是等比数列，在求数列{an}的前n项和时，可通过转化的思想，将数列的求和问题转化为等差或等比数列求和问题解决，常用的方法有分组求和法、裂项相消求和法以及错位相减求和法等．

同学们，谢谢聆听！

《浪淘沙》

刘禹锡

莫道谗言如浪深，莫言迁客似沙沉。

千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金。

《劝学》

颜真卿

三更灯火五更鸡，正是男儿发愤时。

黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。

《长歌行》

汉乐府

百川东到海，何时复西归？

少壮不努力，老大徒伤悲。