专题强化训练一+因式分解中的分组分解法和十字相乘法 .docx

专题强化训练一：因式分解中的分组分解法和十字相乘法

考点一：分组分解法

常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．这种分解因式的方法叫分组分解法．

例如：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．

考点二：十字相乘法

【方法探究】

对于多项式我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按下图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数．

所以

例如，分解因式：

它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按下图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．

所以）．

类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．

例如，分解因式：．

分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与3时按下图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以．

【方法归纳】

一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，，，按上图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式．即．

我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．

题型一：分组分解法

1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（）

A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11

2．（2022·山东济宁·八年级期末）观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：

甲：（分成两组）（直接提公因式）

乙：（分成两组）（直接运用公式）

请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解：

(1)

(2)

3．（2021·吉林吉林·八年级期末）阅读下列材料：

一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：

因式分解：＝＝＝

（1）利用分组分解法分解因式：

???①；?②

（2）因式分解：=_______（直接写出结果）．

题型二：十字相乘法

4．（2022·广东广州·八年级期末）若，则p，q的值分别为（???????）

A．p＝3，q＝4 B．p＝－3，q＝4 C．p＝3，q＝－4 D．p＝－3，q＝－4

5．（2021·全国·八年级专题）分解因式：

（1）；（2）；（3）；

6．（2021·陕西宝鸡·八年级期末）阅读下列材料：

材料1：将一个形如x2＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．

材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）2

上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：

（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；

（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；

①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）＋16；

②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3

专题强化

一、单选题

7．（2022·重庆合川·八年级期末）下列因式分解中错误的是（???????）

A． B．

C． D．

8．（2021·山东·烟台市芝罘区教育科学研究中心八年级期中）观察下列分解因式的过程：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（???????）

A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形

C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形

9．（2021·全国·八年级专题练习）已知实数m，n，p，q满足，，则（???????）

A．48 B．36 C．96 D．无法计算

10．（2021·全国·八年级专题练习）已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则三角形ABC的形状是()

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形