专题4.3 因式分解-十字相乘法与分组分解法（知识解读）（原卷版）.docx

专题4.3因式分解-十字相乘法与分组分解法（知识解读）

【学习目标】

1.了解十字相乘法和分组分解法分解因式．

2.了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解．

3.掌握因式分解分应用

【知识点梳理】

考点1：十字相乘法

1.x2???p?q?x?pq?（x+p）（x+q）

2.在二次三项式ax2?bx?c(a?0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，

即a?a1?a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c?c1?c2，把a1，a2，c1，

c2排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2?a2c1，若它正好等于二次三项式ax2?bx?c的

一次项系数b，即a1c2?a2c1?b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x?c1与

a2x?c2之积，即ax2?bx?c?(a1x?c1)(a2x?c2)．

考点2：分组分解法

考点3：因式分解的应用

【典例分析】

【考点1:十字相乘法】

【典例1】（2021秋?江陵县期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．

由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．

分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．

所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．

解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请仿照上面的方法，解答下列问题：

（1）分解因式：x2+5x﹣24＝；

（2）若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是；

（3）利用上面因式分解方法解方程：x2﹣4x﹣21＝0．

【变式1-1】（2021春?肃州区校级期中）分解因式：

（1）x2﹣10x+16；（2）x2﹣2x﹣3．

【变式1-2】（2021秋?建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：

（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．

而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：

x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．

通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．

利用这种方法，将下列多项式分解因式：

（1）x2+7x+10＝；

（2）x2﹣2x﹣3＝；

（3）y2﹣7y+12＝；

（4）x2+7x﹣18＝．

【考点2:分组分解法】

【典例2】（2022春?新田县期中）先阅读材料：

分解因式：a2b﹣3a2+2b﹣6．

解：a2b﹣3a2+2b﹣6

＝（a2b﹣3a2）+（2b﹣6）

＝a2（b﹣3）+2（b﹣3）

＝（b﹣3）（a2+2）

以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：x2+3x﹣y2+3y．

【变式21】（2022秋?上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．

【变式2-2】（2022秋?嘉定区期末）分解因式：x2﹣y2﹣2x﹣2y．

【变式2-3】（2021秋?奉贤区期中）因式分解：x2+4y2+4xy﹣1．

【变式2-4】（2021秋?徐汇区月考）因式分解：4﹣m2﹣9n2﹣6mn．

【考点3:因式分解应用】

【典例3】（2022秋?盘龙区期末）若2a+b＝﹣5，2a﹣b＝3，则4a2﹣b2的值为．

【变式3-1】（2022秋?沂水县期末）已知a+3b＝0，则a3+3a2b﹣2a﹣6b﹣5的值为．

【变式3-2】（2022秋?新丰县期末）若a+b＝3，x+y＝1，则代数式a2+2ab+b2﹣x﹣y+2015的值是（）

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