2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-对点练78 解析几何中的融合创新问题.docxVIP

对点练78解析几何中的融合创新问题

(分值：30分)

1.(13分)(2025·长沙模拟)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x＝ty＋1表示过点(1，0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

(1)若圆C1：x2＋y2＝1是直线族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包络曲线，求m，n满足的关系式；

(2)若点P(x0，y0)不在直线族Ω：(2a－4)x＋4y＋(a－2)2＝0(a∈R)的任意一条直线上，求y0的取值范围(用含x0的式子表示)和直线族Ω的包络曲线E；

(3)在(2)的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线l1，l2，其交点为P.已知点C(0，1)，若A，B，C三点不共线，探究∠PCA＝∠PCB是否成立？请说明理由.

2.(17分)(2025·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，若在曲线C1的方程F(x，y)＝0中，以(λx，λy)(λ为非零的正实数)代替(x，y)得到曲线C2的方程F(λx，λy)＝0，则称曲线C1，C2关于原点“伸缩”，变换(x，y)→(λx，λy)称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.

(1)已知C1的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，伸缩比λ＝2，求C1关于原点“伸缩变换”所得曲线C2的方程；

(2)射线l的方程y＝eq\f(\r(2),2)x(x≥0)，如果椭圆C1：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1，C2分别交于两点A，B，且|AB|＝eq\r(2)，求椭圆C2的方程；

(3)对抛物线C1：y2＝2p1x，作变换(x，y)→(λ1x，λ1y)，得抛物线C2：y2＝2p2x；对C2作变换(x，y)→(λ2x，λ2y)得抛物线C3：y2＝2p3x，如此进行下去，对抛物线Cn：y2＝2pnx作变换(x，y)→(λnx，λny)，得Cn＋1：y2＝2pn＋1x…，若p1＝1，λn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，求数列{pn}的通项公式pn

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