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第03讲二项式定理
目录TOC\o1-2\h\z\u
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03考点突破·题型探究 4
知识点1:二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 4
知识点2:二项式展开式中的最值问题 5
知识点3:二项式展开式中系数和有关问题 6
题型一:求二项展开式中的参数 7
题型二:求二项展开式中的常数项 7
题型三:求二项展开式中的有理项 8
题型四:求二项展开式中的特定项系数 8
题型五:求三项展开式中的指定项 9
题型六:求几个二(多)项式的和(积)的展开式中条件项系数 10
题型七:求二项式系数最值 10
题型八:求项的系数最值 11
题型九:求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 12
题型十:求奇数项或偶数项系数和 13
题型十一:整数和余数问题 13
题型十二:近似计算问题 14
题型十三:证明组合恒等式 15
题型十四:二项式定理与数列求和 17
题型十五:杨辉三角 18
04真题练习·命题洞见 20
05课本典例·高考素材 21
06易错分析·答题模板 22
易错点:混淆项的系数与二项式系数 22
答题模板:求二项展开式中的特定项或项的系数 23
考点要求
考题统计
考情分析
(1)二项式定理
(2)二项式系数的性质
2024年北京卷第4题,4分
2024年甲卷(理)第13题,5分
2023年北京卷第5题,4分
2023年天津卷第11题,5分
2023年上海卷第10题,5分
2022年I卷第13题,5分
(1)今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主,以考查基本运算和基本方法为主,难度中等偏下,与教材相当.
(2)本节内容在高考中的比重可能会持续降低,但仍然是备考的重要内容.
复习目标:
(1)能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
知识点1:二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
(1)二项式定理
一般地,对于任意正整数,都有:,
这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做的二项展开式.
式中的做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:,
其中的系数(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,
(2)二项式的展开式的特点:
①项数:共有项,比二项式的次数大1;
②二项式系数:第项的二项式系数为,最大二项式系数项居中;
③次数:各项的次数都等于二项式的幂指数.字母降幂排列,次数由到;字母升幂排列,次
数从到,每一项中,,次数和均为;
④项的系数:二项式系数依次是,项的系数是与的系数(包括二项式系
数).
(3)两个常用的二项展开式:
①()
②
(4)二项展开式的通项公式
二项展开式的通项:
公式特点:①它表示二项展开式的第项,该项的二项式系数是;
②字母的次数和组合数的上标相同;
③与的次数之和为.
注意:①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的,应用二项式定理时,其中的和是不能随便交换位置的.
②通项是针对在这个标准形式下而言的,如的二项展开式的通项是(只需把看成代入二项式定理).
【诊断自测】已知在的二项展开式中,各项系数和为,则展开式中,含项的系数为.
知识点2:二项式展开式中的最值问题
(1)二项式系数的性质
=1\*GB3①每一行两端都是,即;其余每个数都等于它“肩上”两个数的和,即.
=2\*GB3②对称性每一行中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即.
=3\*GB3③二项式系数和令,则二项式系数的和为,变形式.
=4\*GB3④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中,令,
则,
从而得到:.
=5\*GB3⑤最大值:
如果二项式的幂指数是偶数,则中间一项的二项式系数最大;
如果二项式的幂指数是奇数,则中间两项,的二项式系数,相等且最大.
(2)系数的最大项
求展开式中最大的项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为,设第项系数最大,应有,从而解出来.
【诊断自测】设为整数,展开式的二项式系数的最大值为,展开式的二项式系数的最大值为,若,则.
知识点3:二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例:
(1)设,
二项式定理是一个恒等式,即对,的一切值都成立,我们可以根据具体问题的需要灵活选取,的值.
①令,可得:
②令,可得:,即:
(假设为偶数),再结合①可得:
.
(2)若,则
①常数项:令,得.
②各项系数和:令,得.
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