第03讲 复数（八大题型）（讲义）无答案）.docxVIP

第03讲复数

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：复数的概念 4

知识点2：复数的四则运算 4

解题方法总结 6

题型一：复数的概念 6

题型二：复数的运算 7

题型三：复数的几何意义 8

题型四：复数的相等与共轭复数 9

题型五：复数的模 9

题型六：复数的三角形式 10

题型七：与复数有关的最值问题 11

题型八：复数方程 13

04真题练习·命题洞见 13

05课本典例·高考素材 14

06易错分析·答题模板 15

易错点：复数运算法则的应用有误 15

答题模板：复数式的计算 16

考点要求

考题统计

考情分析

（1）复数的有关概念

（2）复数的几何意义

（3）复数的四则运算

2024年I卷第2题，5分

2024年II卷第1题，5分

2023年I卷第2题，5分

2023年II卷第1题，5分

2022年I卷II卷第2题，5分

2021年II卷第1题，5分

2021年I卷第2题，5分

高考对复数的考查相对稳定，每年必考题型，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主．

复习目标：

（1）通过方程的解，认识复数．

（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．

（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．

知识点1：复数的概念

（1）叫虚数单位，满足，当时，．

（2）形如的数叫复数，记作．

=1\*GB3①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．

=2\*GB3②两个复数相等（两复数对应同一点）

=3\*GB3③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．

【诊断自测】（2024·湖南衡阳·模拟预测）若复数，则的虚部为（???）

A． B． C． D．

知识点2：复数的四则运算

1、复数运算

（1）

（2）

其中，叫z的模；是的共轭复数．

（3）．

实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．

注意：复数加、减法的几何意义

以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．

2、复数的几何意义

（1）复数对应平面内的点；

（2）复数对应平面向量；

（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．

（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．

3、复数的三角形式

（1）复数的三角表示式

一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．

（2）辐角的主值

任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．

（3）三角形式下的两个复数相等

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．

（4）复数三角形式的乘法运算

①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即

．

②复数乘法运算的三角表示的几何意义

复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．

（5）复数三角形式的除法运算

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．

【诊断自测】（2024·河北衡水·模拟预测）若为纯虚数，，则（????）

A． B． C．2 D．3

解题方法总结

复数的方程在复平面上表示的图形

(1)表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；

(2)表示以为圆心，r为半径的圆．

题型一：复数的概念

【典例1-1】（2024·新疆·三模）复数满足，则的虚部为（????）

A． B． C． D．

【典例1-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）设复数,则的虚部是（????）

A． B． C． D．

【方法技巧】

无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．

【