2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第3节　二项式定理.docxVIP

第3节二项式定理

课标要求1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

【知识梳理】

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝__________________(n∈N*)；

(2)通项：Tk＋1＝________，k＝0，1，2，…，n，它表示第________项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).

2.二项式系数的性质

性质

性质描述

对称性

与首末等距离的两个二项式系数相等，即________

增减性

二项式

系数Ceq\o\al(k,n)

当k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是______的

当k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是______的

二项式

系数最

大值

当n为偶数时，中间的一项________取得最大值

当n为奇数时，中间的两项Cnn-1

3.各二项式系数和

(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝________.

(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝________.

[常用结论与微点提醒]

(a＋b)n的展开式形式上的特点：

(1)项数为n＋1；

(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；

(4)二项式系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是二项展开式的第k项.()

(2)二项展开式中，二项式系数最大的项为中间一项.()

(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()

(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()

2.(苏教选修二P85T2原题)(x－2y)7的展开式中第3项的二项式系数是()

A.Ceq\o\al(2,7) B.Ceq\o\al(3,7)

C.4Ceq\o\al(2,7) D.16Ceq\o\al(5,7)

3.(人教A选修三P34T1改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________.

4.(北师大选修一P178T1改编)化简：Ceq\o\al(0,n)－Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)－Ceq\o\al(3,n)＋…＋(－1)nCeq\o\al(n,n)＝________.

考点一二项展开式与通项

角度1求二项展开式的特定项

例1(1)(2024·北京卷)在(x－eq\r(x))4的展开式中，x3的系数为()

A.6 B.－6

C.12 D.－12

(2)(2025·天津段测)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,x2)))eq\s\up12(6)展开式中的常数项是()

A.－135 B.135

C.1215 D.－1215

角度2两项之积与三项展开式

例2(1)(2025·湖北十一校联考)(x2＋ax－1)·(1－x)6的展开式中x2的系数是－2，则实数a的值为()

A.0 B.3

C.－1 D.－2

(2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________.

角度3整除问题

例3(2025·郑州质测)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余除法有较深的研究.设