2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第6节　构造函数证明不等式.docxVIP

第6节构造函数证明不等式

题型分析导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果.

题型一移项构造函数证明不等式

例1(2024·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝a(x－1)－lnx＋1.当a≤2时，证明：当x1时，f(x)ex－1恒成立.

思维建模1.若待证不等式的一边含有自变量，另一边为常数，可直接求函数的最值，利用最值证明不等式.

2.若待证不等式的两边含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证.

训练1(2023·新高考Ⅱ卷节选)证明：当0x1时，x－x2sinxx.

题型二分拆函数法证明不等式

例2(2025·广州模拟节选)已知函数f(x)＝axlnx＋x2，g(x)＝ex＋x－1，0a≤1，求证：f(x)g(x).

思维建模1.若直接求导比较复杂或无从下手时，或两次求导都不能判断导数的正负时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.含lnx与ex的混合式不能直接构造函数，要将指数与对数分离，分别计算它们的最值，借助最值进行证明.

2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与lnx要分离，常构造xn与lnx，xn与ex的积、商形式，便于求导后找到极值点.

训练2(2025·南昌模拟节选)已知函数f(x)＝ex2－xlnx，求证：当x＞0时，f(x)＜xex＋eq\f(1,e).

题型三放缩后构造函数证明不等式

例3已知x∈(0，1)，求证：x2－eq\f(1,x)eq\f(lnx,ex).