5-5二次型极其标准形.pptVIP

§5二次型及其标准形解析几何中，二次曲线的一般形式ax2+bxy+cy2=0 通过选择适当的旋转变换使得二次曲线标准化为：mx2+ny2=0．定义：含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数称为二次型．令aij=aji，则2aijxixj=aijxixj+ajixixj，于是对称矩阵定义:对称矩阵A的秩也叫做二次型f的秩．对称矩阵的二次型二次型的矩阵例1已知二次型写出二次型的矩阵A.例2已知二次型写出二次型的矩阵A.解设,则解设则对于二次型，寻找可逆的线性变换对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即f=k1y12+k2y22+…+knyn2定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）.如果标准形的系数k1,k2,…,kn只在?1,0,1三个数中取值,即 f=z12+…+zp2?yp+12?…?yr2则上式称为二次型的规范形,其r是二次型f的秩.说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.定义：设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P满足P?1AP=B，则称矩阵A和B相似．（P.124定义7）定义：设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵C满足CTAC=B，则称矩阵A和B合同，记作（P.132定义9）显然，BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B 即若A为对称阵，且A和B合同，则B也为对称阵．若，则R(B)=R(A)．（P68推论）经过可逆变换后，二次型f的矩阵由A变为与A合同的矩阵CTAC=B，显然二次型的秩不变．若二次型f经过可逆变换x=Cy变为标准形，即问题：实对称阵A，怎样找到可逆矩阵C，使CTAC为对角阵,（即如何寻找到可逆矩阵C,使A合同于一个对角矩阵）定义：如果n阶矩阵A满足ATA=E，即A?1=AT，则称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵．(P118定义4)定理7：设A为n阶对称矩阵，则必有正交阵P，使得P?1AP=PTAP=L，即A与B既相似又合同其中L是以A的n个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.（P.128定理5）定理8：任给二次型f(x)=xTAx（其中A=AT），总存在正交变换x=Py，使f化为标准形f(Py)=l1y12+l2y22+…+lnyn2其中l1,l2,…,ln是f的矩阵A的特征值．推论：任给二次型f(x)=xTAx（其中A=AT），总存在可逆变换x=Cz，使f(Cz)为规范形．（用实例说明）推论：任给二次型f(x)=xTAx（其中A=AT），总存在可逆变换x=Cz，使f(Cz)为规范形．证明：f(x)=f(Py)=l1y12+l2y22+…+lnyn2若R(A)=r，不妨设l1,l2,…,lr不等于零，lr+1=…=ln=0,则K可逆，变换y=Kz把f(Py)化为f(x)=f(Py)=f(PKz)=(PKz)TA(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKTΛKz其中例3：求一个正交变换x=Py，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形．解：二次型的矩阵根据P.129例12的结果，有正交阵于是正交变换x=Py把二次型化为如下的标准形：