专题5 与中点有关的问题 课后同步作业 2025-2026学年人教版八年级数学上册.docx

专题5与中点有关的问题

类型一将中点处的线段倍长，构造全等三角形

1.【阅读理解】

(1)如图①,在△ABC中,若AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.可以用如下方法:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.

在△ABE中，利用三角形的三边关系可得AD的取值范围是

【问题解决】

(2)如图②,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.求证:BE+CFEF.

2.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC+∠EAD=180°,连接BE,CD,F为BE的中点,连接AF.求证:CD=2AF.

3.如图,AD是△ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE=AB,∠BAC=∠BCA,连接AE.求证:AE=2AD.

类型二过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形

4.如图,AB⊥AC,AB=AC,D是AB上一点,CE⊥CD,CE=CD,连接BE交AC于点F,求证:F是BE的中点.

5.如图,A,B,C三点共线,D,C,E三点共线,∠A=∠DBC,EF⊥AC于点F,AE=BD.

(1)求证:C是DE的中点;

(2)求证:AB=2CF.

6.(1)如图①,在△ABC中,∠B=60°,∠C=80°,AD平分∠BAC.求证:AD=AC;

(2)如图②,在△ABC中,点E在BC边上,中线BD与AE相交于点P,AP=BC.求证:PE=BE.

模型积累

【模型1】倍长中线

【条件】D为BC的中点.

【方法】延长AD至点E,使DE=AD.

【结论】△ADB≌△EDC.

【模型2】作单垂线

【条件】BD=CD,CA⊥AD.

【方法】作BE⊥AD.

【结论】△ADC≌△EDB.

【模型3】作双垂线

【条件】D为BC的中点.

【方法】作CF⊥AD,BE⊥AD.

【结论】△BDE≌△CDF.

专题5与中点有关的问题

1.(1)2AD7

(2)证明:如答图,延长FD至点N,使DN=DF,连接BN,EN.

在△FDC和△NDB中{

∴△FDC≌△NDB(SAS),∴FC=BN.

∵DF=DN,DE⊥DF,∴EF=EN.

在△EBN中,BE+BNEN,∴BE+CFEF.

2.证明:延长AF至点G,使FG=AF,连接BG,如答图.∵F为BE的中点,∴EF=BF.

在△AFE和△GFB中{

∴△AFE≌△GFB(SAS),∴∠EAF=∠G,AE=BG,

∴AE∥BG,∴∠GBA+∠BAE=180°.

∵∠BAC+∠EAD=180°,∴∠DAC+∠BAE=180°,

∴∠GBA=∠DAC.∵AD=AE,∴BG=AD.

在△GBA和△DAC中{

∴△GBA≌△DAC(SAS),∴AG=CD.

∵AG=2AF,∴CD=2AF.

3.证明:如答图,延长AD至点M,使DM=AD,连接CM.∵AD是△ABC的中线,∴DB=CD.

在△ABD和△MCD中{

∴△ABD≌△MCD(SAS),∴MC=AB,∠B=∠MCD.

∵AB=CE,∴CM=CE.∵∠BAC=∠BCA,

∴∠B+∠BAC=∠MCD+∠BCA,即∠ACE=∠ACM.在△ACM和△ACE中,{

∴△ACM≌△ACE(SAS),∴AM=AE.

∵AM=2AD,∴AE=2AD.

4.证明:如答图,过点E作EH⊥AC于点H,∴∠EHC=∠EHF=90°.

∵AB⊥AC,∴∠DAC=90°,∠ADC+∠ACD=90°.

∵CE⊥CD,∴∠ECH+∠ACD=90°,

∴∠ECH=∠CDA.

在△HEC和△ACD中{

∴△HEC≌△ACD(AAS),∴EH=AC.

∵AB=AC,∴EH=AB.

在△ABF和△HEF中{

∴△ABF≌△HEF(AAS),

∴EF=BF,∴F是BE的中点.

5.证明:(1)过点D作DH⊥AC,交AC的延长线于点H,如答图,∴∠EFC=∠DHC=90°.

在△AEF和△BDH中{

∴△AEF≌△BDH(AAS),∴EF=DH.

在△EFC和△DHC中{

∴△EFC≌△DHC(AAS),∴CE=CD,

∴C是DE的中点.

(2)由(1)得,△AEF≌△BDH,△EFC≌△DHC,

∴AF=BH,CF=CH,

∴AB+BF=BF+FH,FH=2FC,

∴AB=FH=2CF.

6.证明:(1)在△ABC中,∠B=60°,∠C=80°,

∴∠

∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=12

∴∠

∵∠C=80°,∴∠C=∠ADC,∴AD=AC.

(2)如答图,过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F,

∴∠F=∠DBC,∠FAD=∠C,

由题意知AD=CD,

∴△ADF≌△CDB(AAS),∴AF=BC,

∵AP=BC,∴AP=AF,