专题6 与线段和差有关的问题 课后同步作业 2025-2026学年人教版八年级数学上册.docx

专题6与线段和差有关的问题

1.如图,点E在四边形ABCD的边AD上,∠BAE

2.如图,在四边形ABCD中,AD‖

(1)求证:AE=EF;

(2)若BE⊥AF,求证:BC=AB-AD.

3.(2024·郓城县模拟)如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.

(1)求证:△ABC≌△ADE;

(2)求证:CD=2BF+DE.

4.如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，连接CE并延长，交AP于点D.求证:AD+BC=AB.

5.如图,在四边形ABDC中,AC=

(1)求证:①DE=DF;②∠ADB=60°.

(2)若点G在AB上,且∠EDG

6.【问题提出】在一次课上，老师出了这样一道题：如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且

【探索延伸】如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点，∠EAF

【结论运用】如图③，台风中心位于小岛(O处)北偏西30°的A处，台风中心风力12级，每远离台风中心40千米，风力就会减弱一级.某货轮位于小岛南偏东70°的B处，并且台风中心和货轮到小岛的距离相等，如果台风中心向正东方向以40海里/时的速度前进，同时该货轮沿北偏东50°方向以60海里/时的速度前进，2小时后，它们分别到达E，F处，且∠EOF

专题6与线段和差有关的问题

1.证明:∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,

∴∠BAC+∠DAC=90°,∠CDA+∠DAC=90°,

∴∠BAC=∠EDC,同理,∠BCA=∠ECD.

在△ABC和△DEC中{

∴△ABC≌△DEC,∴AB=DE.

∵AD=AE+ED,∴AD=AE+AB.

2.证明:(1)∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F,∠ADE=∠FCE.又∵DE=CE,∴△ADE≌△FCE(AAS),∴AE=EF.

(2)由AE=EF,BE⊥AF,易证得AB=BF.

∵△ADE≌△FCE,∴AD=CF,

∴AB=BF=BC+CF=BC+AD,∴BC=AB-AD.

3.证明:(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,

∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,

∴∠BAC=∠DAE.

在△BAC和△DAE中{

∴△BAC≌△DAE(SAS).

(2)如答图,延长BF到点G,使得FG=FB.

∵AF⊥BG,∴∠AFG=∠AFB=90°,

在△AFB和△AFG中{

∴△AFB≌△AFG(SAS),∴AB=AG,∠ABF=∠G,

∵△BAC≌△DAE,

∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,

∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,∴∠G=∠CDA,由题意可知∠GCA=∠E=∠DCA=45°.

在△CGA和△CDA中,{

∴△CGA≌△CDA(AAS),∴CG=CD,

∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

∴CD=2BF+DE.

4.证明:在AB上截取AF=AD,连接EF.

∵AE平分∠PAB,∴∠DAE=∠FAE.

在△DAE和△FAE中{

∴△DAE≌△FAE(SAS),∴∠AFE=∠ADE.

∵AD∥BC,∴∠ADE+∠C=180°.

∵∠AFE+∠EFB=180°,∴∠EFB=∠C.

∵BE平分∠ABC,∴∠EBF=∠EBC.

在△BEF和△BEC中{

∴△BEF≌△BEC(AAS),∴BF=BC,

∴AD+BC=AF+BF=AB.

5.(1)证明:①在四边形ABDC中,∠BAC=60°,∠CDB=120°.

∵∠BAC+∠ABD+∠CDB+∠C=360°,

∴∠ABD+∠C=180°,

又∵∠ABD+∠DBF=180°,

∴∠C=∠DBF.

在△CDE和△BDF中,CE=BF,∠C=∠DBF,DC=DB,

∴△CDE≌△BDF(SAS).∴DE=DF.

②在△ACD和△ABD中,AC=AB,DC=DB,AD=AD,

∴△ACD≌△ABD(SSS),∴∠ADC=∠ADB.

又∵∠CDB=120°,∴∠ADB=60°.

(2)解:EG=GB+CE.理由如下:

∵∠CDB=120°,∠EDG=60°,

∴∠CDE+∠BDG=60°.

由(1)知△CDE≌△BDF,∴∠CDE=∠FDB.

∴∠GDF=∠BDG+∠BDF=∠CDE+∠BDG=60°,又∵∠EDG=60°,∴∠EDG=∠GDF.

在△EDG和△FDG中,DE=DF,∠EDG=∠FDG,DG=DG,∴△EDG≌△FDG(SAS).

∴EG=GF=GB+BF=GB+CE.

6.【问题提出】EF=BE+FD

【探索延伸】解：结论仍然成立.

理由:如答图①,延长