2026高考数学一轮复习知识点及试题 苏教版第八章 §8.9　直线与圆锥曲线的位置关系(含答案).docxVIP

§8.9直线与圆锥曲线的位置关系

课标要求1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.

1.直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交?Δ0；直线与圆锥曲线相切?Δ0；直线与圆锥曲线相离?Δ0.

特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.

②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.

2.弦长公式

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝(

＝1+k2|x1－x2|＝，或|AB|＝1+1k2|y1－y

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)过点1，12的直线一定与椭圆x22+y2＝1

(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.()

(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.()

(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.()

2.若直线y＝kx+2与椭圆x23+y22＝1有且只有一个交点，则k

A.63 B.－63 C.±6

3.已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是()

A.2 B.4 C.8 D.16

4.已知点A，B是双曲线C：x22－y23＝1上的两点，线段AB的中点是M(3，2

1.已知M，N是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(ab0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则kMN

2.若曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，其余条件不变，则

题型一直线与圆锥曲线的位置关系

例1(1)已知直线l的方程为mx+y+2m＝1，椭圆C的方程为x29+y24＝1，则直线l与椭圆C

A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定

(2)(2024·肇庆模拟)已知双曲线E：x24－y25＝1，则过点P(2，5)

A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

思维升华(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.

(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).

跟踪训练1(1)(2025·宿迁模拟)已知抛物线C：x2＝y，点M(m，1)，则“m1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的()

A.充分条件 B.必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(2)已知直线y＝x与双曲线x2a2－y2b2＝1(a

题型二弦长问题

例2已知抛物线G：y2＝4x的焦点与椭圆E：x2a2+y2b2＝1(ab0)的右焦点

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点F且斜率为k的直线l交椭圆E于A，B两点，交抛物线G于M，N两点，求1|AB|－

思维升华(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求(过两点的直线的斜率存在且不等于0).

(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1+x2+p.

(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.

跟踪训练2(2024·亳州模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为223，点P为椭圆C上任意一点，且△

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝x－3分别交椭圆C于点A，B和点C，D，求四边形ABCD的面积.

题型三中点弦问题

例3(1)已知直线l交抛物线C：x2＝－18y于M，N两点，且MN的中点为(3，－2)，则直线l的斜率为()

A.－3 B.－16 C.19 D.

(2)(2024·肇庆模拟)已知直线l：x－y+3＝0与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)交于A，B两点，点P(1，4)

A.y＝±14x B.y＝±2

C.y＝±12x D.y＝±4

思维升华解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路

(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.

(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为C(x0，y0)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线(焦点在x轴上)的方程，并对所得两式作差，化简得椭圆：kAB＝－b2a2·x0y0，双曲线：k

跟踪训练3(2024·六安模拟)已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)

A.x218+y29＝1 B.x

C.x236+y