4.3 等比数列（学生版）.docx

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4.3等比数列

1第四章数列

4．3等比数列

4．3．1等比数列的概念

例1若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项．

分析：等比数列由，q唯一确定，可利用条件列出关于，q的方程（组），进行求解．

解法1：由，，得

②的两边分别除以①的两边，得

．

解得

或．

把代入①，得

．

此时

．

把代入①，得

．

此时

．

因此，的第5项是24或．

解法2：因为是与的等比中项，所以

．

所以

．

因此，的第5项是24或．

例2已知等比数列的公比为q，试用的第m项表示．

解：由题意，得

，①

．②

②的两边分别除以①的两边，得

，

所以

．

例3数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列．

分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．

解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80，，．于是得

解方程组，得

或

所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，．

练习

1．判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．

（1）3，9，15，21，27，33；????

（2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；

（3），，，，，；????

（4）4，，16，，64，．

2．已知是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数．

q

2

8

2

0.2

3．在等比数列中，，．求和公比q．

4．对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论．

5．已知数列是等比数列．

（1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？

（2）当时，，，是否成等比数列？为什么？当时，，，是等比数列吗？

例4用10000元购买某个理财产品一年．

（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？

（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？

分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，，，…构成等比数列．

解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比，所以

．

所以，12个月后的利息为（元）．

（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是

．

因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为

元．

解不等式，得

．

所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息．

例5已知数列的首项．

（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；

（2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列．

分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明．

证明：（1）由，，得的通项公式为

．

设，则

．

又

，

所以，是以27为首项，9为公比的等比数列．

（2）由，，得

．

两边取以3为底的对数，得

．

所以

．

又

，

所以，是首项为1，公差为的等差数列．

例6某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？

分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各月不合格品的数量构成数列．由题意可知，数列是等比数列，是等差数列．由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法．

解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，．

由题意，知

，

，其中，2，…，24，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是

．

由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1）．

表4.3-1

观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可．

由

，

得

．

所以，当时，递减．

又

，

所以，当时，

所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内．

练习

6．求满足下列条件的数：

（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；

（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列．

7．设数列，都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列．若是，证明结论；若不是，请说明理由