4.5 函数的应用（二）（学生版）.docx

4．5函数的应用（二）

第四章指数函数与对数函数

4.5函数的应用（二）

例1求方程的实数解的个数.

分析：可以先借助计算工具画出函数的图象或列出x，y的对应值表，为观察?判断零点所在区间提供帮助.

解：设函数，利用计算工具，列出函数的对应值表（表），并画出图象（图）.

由表和图可知，，，则.由函数零点存在定理可知，函数在区间内至少有一个零点.

容易证明，函数，是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程只有一个实数解.

例2借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）.

解：原方程即，令，用信息技术画出函数的图象（图4.5-4），并列出它的对应值表（表）.

观察图或表，可知，说明该函数在区间内存在零点.

取区间的中点，用信息技术算得.因为，所以.

再取区间的中点，用信息技术算得.因为，所以.

同理可得，，.

由于，

所以，原方程的近似解可取为1.375.

例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率.

表是1950~1959年我国的人口数据资料：

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

（2）如果按表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？

分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量和年平均增长率r.

解：（1）设1951~1959年我国各年的人口增长率分别为，，…，.由，

可得1951年的人口增长率.

同理可得，，，，，，，，.

于是，1951~1959年期间，我国人口的年平均增长率为.

令，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为，.

根据表4.5-4中的数据画出散点图，并画出函数（）的图象（图4.5-6）.

由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.

（2）将代入，

由计算工具得.

所以，如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.

例42010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？

分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数（，且；，且）建立数学模型.

解：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p（），经过x年后，残余量为y.根据问题的实际意义，可选择如下模型：

（，且；；）.

由碳14的半衰期为5730年，得.

于是，

所以.

由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知，，

即.

解得.

由计算工具得.

因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的.

例5假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.

请问，你会选择哪种投资方案？

分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.

解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数（）进行描述；方案二可以用函数（）进行描述；方案三可以用函数（）进行描述.三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.

我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况（表）.

再画出三个函数的图象（图）

由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二?方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一?方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一?方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元

下面再看累计的回报数.通过信息技术列表如下（表）.

因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~