5.1 任意角和弧度制（解析版）.docx

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5．1任意角和弧度制

第五章三角函数

5.1任意角和弧度制

例1在0°~360°范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.

解：，所以在0°~360°范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角.

例2写出终边在y轴上的角的集合.

解：在0°~360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合，

而所有与270°角终边相同的角构成集合，

于是，终边在y轴上的角的集合

.

例3写出终边在直线上的角的集合S.S中满足不等式的元素有哪些？

解：如图，在直角坐标系中画出直线，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°~360°范围内，终边在直线上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线上的角的集合

.

S中适合不等式的元素有

，

，

，

，

，

.

例4按照下列要求，把化成弧度：

（1）精确值；

（2）精确到0.001的近似值.

解：（1）因为，所以.

（2）利用计算器有

因此，.

例5将3.14换算成角度（用度数表示，精确到0.001）.

解：利用计算器有

因此，.

例6利用弧度制证明下列关于扇形的公式：

（1）；

（2）；

（3）.

其中R是圆的半径，（）为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积.

证明：由公式可得.

下面证明（2）（3）.

半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是，，

将n°转换为弧度，得，

于是，.

将代入上式，即得.

5.1.1任意角

练习

1．锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

2．今天是星期三，那么天后的那一天是星期几?天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?

3．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：

（1）；（2）；（3）；（4）.

4．在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：

(1)；

(2)；

(3).

5．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素：（1）；（2）.

5.1.2弧度制

练习

6．把下列角度化成弧度：

(1)；

(2)；

(3).

7．把下列弧度化成角度：（1）；（2）；（3）.

8．用弧度表示：（1）终边在x轴上的角的集合；（2）终边在y轴上的角的集合.

9．利用计算工具比较下列各对值的大小：（1）和；（2）和.

10．分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m的圆中，的圆心角所对的弧的长度（可用计算工具）.

11．已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数.

习题5.1

复习巩固

12．在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

13．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)；

(7)；

(8).

14．分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合.

15．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？

16．把下列角度化成弧度：

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

17．把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到）：

(1)

(2)

(3)1.4；

(4).

综合运用

18．已知是锐角，那么是（????）．

A．第一象限角 B．第二象限角

C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角

19．若为第一象限角，则是（????）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角

20．要在半径的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为，那么圆心角是多少度（可用计算工具，精确到1°）？

21．已知弧长50cm的弧所对圆心角为，求这条弧所在的圆的半径（可用计算工具，精确到1cm）.

拓广探索

22．每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积.

（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为，求与的比值；

（2）要使与的比值为，则扇子的圆心角应为几度（精确到）？

23．（1）时间经过（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？

（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次。你认为这种说法是否正确？请说明理由.

（提示：从午夜零时算起，假设分针走了tmin会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间）

24．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有