4.4 对数函数（解析版）.docx

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4．4对数函数

第四章指数函数与对数函数

4．4对数函数

4.4

例1求下列函数的定义域：

（1）；

（2）（，且）.

解：（1）因为，即，所以函数的定义域是.

（2）因为，即，所以函数的定义域是.

例2假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x.

（1）该地的物价经过几年后会翻一番？

（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.

解：（1）由题意可知，经过y年后物价x为，即（）.

由对数与指数间的关系，可得，.

由计算工具可得，当时，.

所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.

（2）根据函数，，利用计算工具，可得下表：

由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小.

例3比较下列各题中两个值的大小：

（1），；

（2），；

（3），（，且）.

解：（1）和可看作函数的两个函数值.因为底数，对数函数是增函数，且，所以.

（2）和可看作函数的两个函数值.因为底数，对数函数是减函数，且，所以.

（3）和可看作函数的两个函数值.对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论.

当时，因为函数是增函数，且，所以；

当时，因为函数是减函数，且，所以.

例4溶液酸碱度的测量.

溶液酸碱度是通过计量的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.

（1）根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

（2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的.

解：（1）根据对数的运算性质，有.

在上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即减小.所以，随着的增大，减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.

（2）当时，.所以，纯净水的是7.

练习

1．求下列函数的定义域：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

2．画出下列函数的图象：

（1）；

（2）.

3．已知集合，集合，下列函数能体现集合A与集合B一一对应关系的是__________.

①；②；③；④.

4．4．2对数函数的图象和性质

练习

4．在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系.

5．比较下列各题中两个值的大小：

（1）；

（2）；

（3）.

6．某地去年的GDP（国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%.

（1）设经过年达到的年GDP为亿元，试写出未来5年内，关于的函数解析式；

（2）经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？

4．4．3不同函数增长的差异

练习

7．三个变量随变量变化的数据如下表：

0

5

10

15

20

25

30

5

130

505

1130

2005

3130

4505

5

90

1620

29160

524880

9447840

170061120

5

30

55

80

105

130

155

其中关于呈指数增长的变量是_____

8．（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围的图象，借助计算工具估算出使的的取值范围（精确到0.01）.

（1）（2）（3）

9．如图，对数函数的图象与一次函数的图象有A，B两个公共点，求一次函数的解析式.

10．函数的图象如图所示，则可能是（????）

A．

B．

C．

D．

习题4．4

复习巩固

11．求下列函数的定义域:

(1);

(2).

12．比较满足下列条件的两个正数m,n的大小:

(1);

(2);

(3);

(4).

13．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？

14．函数，，的图象如图所示，

(1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；

(2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象；

(3)从（2）的图中你发现了什么？

15．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m,游回产地产卵,研究链鱼的科学家发现链鱼的游速,(单位:)可以表示为,其中O表示鱼的耗氧量的单位数.

(1)当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是多少?

(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.

16．在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（????）

A． B．

C． D．

综合运用

17．判断下列各对函数是否互为反函数,若是,则求出它们的定义域和值域:

(1);

(2).

18．设表示某学校男生身高为时平均