1.1 空间向量及其运算（解析版）.docx

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1.1空间向量及其运算

第一章空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算

1.1．1空间向量及其线性运算

例1如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点O作射线，，，，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使．求证：E，F，G，H四点共面．

图1.1-9

分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量运算由，，共面的表达式推得，，共面的表达式．

证明：因为．所以

，，，．

因为四边形是平行四边形，所以

．

因此

由向量共面的充要条件可知，，，共面，又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面．

练习

1．举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．

2．如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：

（1）；????????（2）；

（3）；????????（4）．

3．在图中，用，，表示，及．

4．如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；

（1）；????????

（2）；

（3）．

5．如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中x，y的值：

（1）????

（2）

（3）

1.1.2空间向量的数量积运算

例2如图1.1-12，在平行六面体中，，，，，．求：

图1.1-12

（1）；

（2）的长（精确到0.1）．

解：（1），

；

（2）

，

所以．

例3如图1.1-13，m，n是平面内的两条相交直线．如果，，求证：．

图1.1-13

分析：要证明，就是要证明l垂直于内的任意一条直线g（直线与平面垂直的定义）．如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题．

证明：在平面内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量，，，．

因为直线m与n相交，所以向量，不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使

．

将上式两边分别与向量作数量积运算，得

．

因为，（为什么？），所以．

所以．

这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线，所以．

练习

6．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小是（????）

A． B． C． D．

7．如图，正方体的棱长为1，设，，，求：

（1）；（2）；（3）．

8．如图，在平行六面体中，，，，，．求：

（1）；????（2）的长；????（3）的长．

9．如图，线段AB，BD在平面内，，，且，，．求C，D两点间的距离．

习题1.1

复习巩固

10．如图，在长方体中，E、F分别为棱、AB的中点．

（1）写出与向量相等的向量；

（2）写出与向量相反的向量；

（3）写出与向量平行的向量．

11．如图，已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：

（1）；????????（2）；

（3）；????（4）．

12．证明：如果向量，共线，那么向量与共线．

13．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求：

（1）；????（2）；????（3）；????（4）；

（5）；????（6）．

综合运用

14．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则与相等的向量是（????）

A． B．

C． D．

15．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面.

16．如图，正方体

（1）求和的夹角；

（2）求证．

17．用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线）

拓广探索

18．如图，空间四边形中，.求证：.

19．如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．

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参考答案：

1．实例见解析；

【分析】在空间几何体中，从一点出发的不同面的向量即可.

【详解】在三棱锥中，，，不同在一个平面内；

长方体中，从一个顶点A引出的三个向量，，不同在一个平面内.

2．（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.

【详解】（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

3．；；.

【分析】根据空间向量的加减运算法则可转化.

【详解】，

，

.

4．（1）；（2）；（3）

【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可.

【详解】（1）；

（2）；

（3）.

5．（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）化简即得解；

（2）化简即得解；

（3）化简即得解.

【详解】（1），所以；