5.1 导数的概念及其意义（学生版）.docx

答案第=page11页，共=sectionpages22页

5.1导数的概念及其意义

第五章一元函数的导数及其应用

5.1导数的概念及其意义

5．1．1变化率的问题练习

1．求问题1中高台跳水运动员在时的瞬时速度．

1．火箭发射后，其高度（单位：m）为．求：

（1）在这段时间里，火箭爬高的平均速度；

（2）发射后第时，火箭爬高的瞬时速度．

2．一个小球从的高处自由下落，其运动方程为，求时小球的瞬时速度．

练习

3．你认为应该怎样定义抛物线在点处的切线？试求抛物线在点处切线的斜率．

4．求抛物线在点处的切线方程．

5．1．2导数的概念及其几何意义练习

例1设，求．

解：．

例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第xh时，原油的温度（单位：℃）为．计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是和．

根据导数的定义，

，

所以

．

同理可得

．

在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为与．说明在第2h附近，原油温度大约以的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以的速率上升．

一般地，反映了原油温度在时刻入附近的变化情况．

例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度（单位：）为，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义．

分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率．因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为，．

解：在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是和．

根据导数的定义，

，

所以

．

同理可得

．

在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别是与．说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少．

1．在例2中，计算第与第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

5．设，求．

6．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，求质点A在时的瞬时速度．

7．设函数求：

（1）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；

（2）函数在处的导数．

例4图5.1-6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象根据图象，请描述、比较曲线在，，附近的变化情况．

图5.1-6

解：我们用曲线从在，，处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．

（1）当时，曲线在处的切线平行于t轴，．这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

（2）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．

（3）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减．

从图5.1-6可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢．

例5图5.1-7是人体血管中药物浓度（单位：）随时间t（单位：）变化的函数图象．根据图象，估计，0.4，0.6，0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．

图5.1-7

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．

如图5.1-7，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

作处的切线，并在切线上取两点，如，，则该切线的斜率

，

所以

．

表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值．

表5.1-3

练习

1．根据图5.1—6，描述曲线在，附近增（减）以及增（减快慢的情况．

8．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）

A． B．

C． D．

9．求曲线在点处的切线方程．

10．吹气球时，气球的半径r（单位：）与体积V（单位：L）之间的函数关系是，利用信息技术工具，画出时函数的图象，并根据其图象估计，时，气球的瞬时膨胀率．

习题5．1

11．一个物体从高处做自由落体运动，时该物体距离地面的高度（单位：m）为．求该物体在时的瞬时速度，并解释此时物体的运动状况．

12．圆的面积S（单位：）与半径R（单位：）的关系为，求时面积关于半径的瞬时变化率．

13．某质点沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式．求：

（1）这段时间内的平均速度；

（2）时的瞬时速度．

14．已知车轮旋转的角度（单位：）与时间t（单位：s）满足关系式，求车轮转动开始后第时的瞬时角速度．

15．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）

A． B．

C． D．

16．如图，试描述函数在，，，0，1附近的变化情况．

17．求曲线在