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第四章4.2.1等差数列的概念
第2课时等差数列的判定与性质
学习目标
1.掌握等差数列2.掌握等差数列的性质3.能根据实例抽象出
的判定与证明的及应用.等差数列进行简单
方法.的应用.
导语
当数列是等差数列时,可以根据公式进行一些计算,但对数列
来说,如何判断是否为等差数列呢?
内容索引
一、等差数列的判定与证明
二、等差数列的性质
三、由等差数列构造新数列
随堂演练
课时对点练
一
等差数列的判定与证明
问题1如果一个数列的前有限项是等差数列,那么这个数列是等差数列吗?
提示不一定,证明一个数列是等差数列,一定要体现出任意性.
知识梳理
证明或判定等差数列的方法
*
(1)定义法:an+1-an=d(n∈N).
(2)等差中项法:2an=an-1+an+1(n≥2).
(3)通项公式法:an=a1+(n-1)d=pn+q(p,q为常数).
注意点:
证明{an}是等差数列常用定义法.
例1
(2)求an.
(1)试证明数列{bn}为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
反思感悟
判断等差数列的方法
(1)定义法
**
an+1-an=d(n∈N)或an-an-1=d(n≥2,n∈N)⇔数列{an}是
等差数列.
(2)等差中项法
*
2an+1=an+an+2(n∈N)⇔数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}为等
差数列.
跟踪训练1
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
二
等差数列的性质
问题2如果{an}是等差数列,a3=5,d=2,如果不求首项,你能求数
列的通项公式吗?
提示由定义可知a3=a1+2d,an=a1+(n-1)d,两式相减得an-a3=
(n-3)d,即an=a3+(n-3)d.
问题3若数列{an}是等差数列,公差为d,m+n=p+q(m,n,p,
*
q∈N),则am,an,ap,aq这四项之间有什么样的关系?
提示由等差数列的定义可知,am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d,ap
=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,容易发现am+an=2a1+(m+n-2)d,
ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因为m+n=p+q,故有am+an=ap+aq.
知识梳理
1.设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则
*
(1)an=dn+(a1-d)(n∈N);
(n-m)d
*
(2)an=am+________(m,n∈N);
(3)d=_______(m,n∈N*,且m≠n).
下标性质:在等差数列中,若+=+,,,∈*,则
2.ap+{an}mnpq(mnpqN)
a
a+a=__q_____.
mn2ap
*
特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N),则有am+an=_____.
注意点:
(1)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同.
(2)在有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项之和都相等,即
a1+an=a2+an-1=….
例2
(1)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
方法一(利用an=am+(n-m)d)
设数列{an}的公差为d,
则a60=a15+(60-15)d=8+45d,
方法二(利用隔项成等差数列)
因为{an}为等差数列,
所以a15,a30,a45,a
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