专题45 立体几何中的向量方法（二）—求空间角和距离-高考数学一轮复习(文理通用)（原卷版）.docVIP

专题45立体几何中的向量方法（二）——求空间角和距离

必威体育精装版考纲

1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的计算问题．

2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

基础知识融会贯通

1．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

l1与l2所成的角θ

a与b的夹角β

范围

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))

[0，π]

求法

cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)

cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)

2.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).

3．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．

【知识拓展】

利用空间向量求距离(供选用)

(1)两点间的距离

设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2).

(2)点到平面的距离

如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).

重点难点突破

【题型一】求异面直线所成的角

【典型例题】

如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1，在底面ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．

（1）求的值；

（2）求证：BN⊥平面C1MN．

【再练一题】

如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（，，0），点D在平面yOx上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．

（1）求向量的坐标．

（2）求与的夹角的余弦值．

思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤

(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；

(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．

【题型二】求直线与平面所成的角

【典型例题】

如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，BC＝BAAD＝m，VA⊥平面ABCD．

（1）求证：CD⊥平面VAC；

（2）若VAm，求CV与平面VAD所成角的大小．

【再练一题】

如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝2CD＝4，PA⊥CD，在锐角△PAD中，E是边PD上一点，且AD＝PD＝3ED．

（1）求证：PB∥平面ACE；

（2）当PA的长为何值时，AC与平面PCD所成的角为30°？

思维升华利用向量法求线面角的方法

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

【题型三】求二面角

【典型例题】

四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，∠PAB＝90°．

（1）求证：PD⊥平面ABCD；

（2）若直线BD与平面PAB所成角的正弦值为，求二面角C﹣PA﹣D的余弦值．

【再练一题】

如图在直角△ABC中，B为直角，AB＝2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．

（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；

（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E﹣MF﹣C的余弦值．

思维升华利用向量法计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．

(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．

【题型四】求空间距离

【典型例题】

四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PB＝PD．

（1）