专题50 椭圆及其性质-高考数学一轮复习(文理通用)（解析版）.docVIP

专题50椭圆及其性质

必威体育精装版考纲

1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

基础知识融会贯通

1．椭圆的概念

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：

(1)若ac，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若ac，则集合P为空集．

2．椭圆的标准方程和几何性质

【知识拓展】

点P(x0，y0)和椭圆的位置关系

(1)点P(x0，y0)在椭圆内?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)1.

(2)点P(x0，y0)在椭圆上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.

(3)点P(x0，y0)在椭圆外?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)1.

重点难点突破

【题型一】椭圆的定义及应用

【典型例题】

如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

【解答】解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．

∴|MP|＝|PF|，

∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），

又显然|MO|＞|FO|，

∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．

故选：A．

【再练一题】

已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点M满足|MF1|+|MF2|＝5，则点M的轨迹是（）

A．双曲线 B．椭圆 C．线段 D．不存在

【解答】解：∵F1（﹣3，0），F2（3，0），

∴|F1F2|＝6，

又|MF1|+|MF2|＝5＜6，

∴点M的轨迹不存在．

故选：D．

思维升华椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．

(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．

【题型二】椭圆的标准方程

命题点1利用定义法求椭圆的标准方程

【典型例题】

已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）

A．1 B．1

C．1 D．1

【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），

∴|F1F2|＝2，

∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，

∴2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，

即|PF1|+|PF2|＝4，

∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，

∵2a＝4，a＝2

c＝1

∴b2＝3，

∴椭圆的方程是

故选：C．

【再练一题】

已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|＝10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．

【解答】解：（1）由椭圆定义及条件，可得

2a＝|F1B|+|F2B|＝10，得a＝5．

又∵c＝4，∴b3．

因此可得该椭圆方程为．

（2）∵点B（4，yB）在椭圆上，

∴将x＝4，代入椭圆方程求得yB，可得|F2B|＝|yB|．

∵椭圆右准线方程为x，即x，离心率e．

根据圆锥曲线统一定义，得

|F2A|（x1），|F2C|（x2）．

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得2|F2B|＝|F2A|+|F2C|

即（x1）（x2）＝2，由此解得x1+x2＝8．

设弦AC的中点为P（x0，y0），

可得中点横坐标为则x0（x1+x2）＝4．

命题点2利用待定系数法求椭圆方程

【典型例题】

椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为（）

A．1

B．1

C．1或1

D．1或1

【解答】解：∵椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，

∴，解得a＝5，b2＝25﹣16＝9，

∴当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为，

当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为．

故选：D．

【再练一题】

已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M