专题47 两条直线的位置关系-高考数学一轮复习(文理通用)（原卷版）.docVIP

专题47两条直线的位置关系

必威体育精装版考纲

1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．

2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

基础知识融会贯通

1．两条直线的位置关系

(1)两条直线平行与垂直

①两条直线平行：

(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.

(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

②两条直线垂直：

(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2?k1·k2＝－1.

(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.

(2)两条直线的交点

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．

2．几种距离

(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离

|P1P2|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).

(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).

【知识拓展】

1．直线系方程

(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．

(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．

2．两直线平行或重合的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.

3．两直线垂直的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.

4．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

5．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件

(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．

(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．

重点难点突破

【题型一】两条直线的位置关系

【典型例题】

直线2x+y+m＝0和x+2y+n＝0的位置关系是（）

A．平行 B．垂直

C．相交但不垂直 D．不能确定

【再练一题】

已知直线l1：ax+2y+6＝0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0．当时，l1与l2相交；当时，l1⊥l2；当时，l1与l2重合；当时，l1∥l2．

思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．

【题型二】两直线的交点与距离问题

【典型例题】

若三条直线x+y﹣3＝0，x﹣y+1＝0，mx+ny﹣5＝0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）

A． B． C．2 D．2

【再练一题】

直线l1，l2分别过点M（1，4），N（3，1），它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是（）

A．5 B．4 C． D．3

【题型三】对称问题

命题点1点关于点中心对称

【典型例题】

已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），则点P（x，y）到原点的距离是（）

A．4 B． C． D．

【再练一题】

点A（2，3）关于点P（0，5）对称的点A的坐标为．

命题点2点关于直线对称

【典型例题】

一束光线从点A（4，﹣3）出发，经y轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1上的最短路径的长度是（）

A．4 B．5 C． D．

【再练一题】

已知点A与点B（1，2）关于直线x+y+3＝0对称，则点A的坐标为（）

A．（3，4） B．（4，5） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣5，﹣4）

命题点3直线关于直线的对称问题

【典型例题】

直线x﹣2y+2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）

A．x+2y﹣4＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．2x+y﹣4＝0

【再练一题】

如果直线y＝ax+3与直线y＝3x+b关于直线y＝x对称，那么a，b的值分别是（）

A．、﹣